Integrali in due variabili(o no?)
We 
Ho una domanda che mi è sorta un po' per non aver capito forse, un po' perché ho sonno.
Supponiamo che abbia una funziond $f$ localmente integrabile in $(a,+infty)$
E devo valutare la convergenza di $int_(a)^(+infty)f(t)dt$
Come lo definisco? Cioè non si tratta comunque di una funzione in due variabili?
Perché a me viene spontaneo dire che
$int_(a)^(+infty)f(t):=lim_((x,y)->(a^+,+infty))int_(x)^(y)f(t)dt$
A meno che non dica che $f$ è integrabile impropriamente su $(a,+infty)$
Se esistono finiti i limiti
$lim_(x->+infty)int_(c)^(x)f(t)dt$ e $lim_(y->a^+)int_(y)^(c)f(t)dt$
E in quel caso si pone,
$int_(a)^(+infty)f(t)dt=lim_(x->+infty)int_(c)^(x)f(t)dt-lim_(y->a^+)int_(y)^(c)f(t)dt$
Ovviamente con $c in(a,+infty)$
Il che mi sembra una buona posizione poiché non dipende da $c$ di fatto si ha,
$lim_(x->+infty)[F(x)-F(c)]+lim_(y->a^+)[F(c)-F(y)]$
Ovvero $lim_(x->+infty)F(x)-lim_(y->a^+)F(y)$
Ho una domanda che mi è sorta un po' per non aver capito forse, un po' perché ho sonno.
Supponiamo che abbia una funziond $f$ localmente integrabile in $(a,+infty)$
E devo valutare la convergenza di $int_(a)^(+infty)f(t)dt$
Come lo definisco? Cioè non si tratta comunque di una funzione in due variabili?
Perché a me viene spontaneo dire che
$int_(a)^(+infty)f(t):=lim_((x,y)->(a^+,+infty))int_(x)^(y)f(t)dt$
A meno che non dica che $f$ è integrabile impropriamente su $(a,+infty)$
Se esistono finiti i limiti
$lim_(x->+infty)int_(c)^(x)f(t)dt$ e $lim_(y->a^+)int_(y)^(c)f(t)dt$
E in quel caso si pone,
$int_(a)^(+infty)f(t)dt=lim_(x->+infty)int_(c)^(x)f(t)dt-lim_(y->a^+)int_(y)^(c)f(t)dt$
Ovviamente con $c in(a,+infty)$
Il che mi sembra una buona posizione poiché non dipende da $c$ di fatto si ha,
$lim_(x->+infty)[F(x)-F(c)]+lim_(y->a^+)[F(c)-F(y)]$
Ovvero $lim_(x->+infty)F(x)-lim_(y->a^+)F(y)$
Risposte
"anto_zoolander":
E in quel caso si pone,
$int_(a)^(+infty)f(t)dt=lim_(x->+infty)int_(c)^(x)f(t)dt-lim_(y->a^+)int_(y)^(c)f(t)dt$
Ovviamente con $c in(a,+infty)$
Non è meno ma è $+$ (e anche se è vero che la somma è commutativa perché li hai scritti "invertiti" ?? XD
)In ogni caso(anche se è corretto) dire che si tratta di una funzione in due variabili è una complicazione inutile, perché anche se a notazione hai inserito due variabili queste sono slegate in un certo senso. La tua definizione non è unica.
"anto_zoolander":
$ int_(a)^(+infty)f(t):=lim_((x,y)->(a^+,+infty))int_(x)^(y)f(t)dt $
Qui ad esempio il modo di tendere all'infinito della $y$ rispetto a $x$ non influenza il risultato perché $f$ non dipende da $x$. Quindi si sarebbe potuto anche definire l'integrale lungo una curva specifica ad esempio
$$\int_{a}^{+\infty}f(t):=\lim_{x\to a^+}\int_{x}^{\frac{1}{x-a}}f(t)dt $$
e non sarebbe cambiato nulla.
Chi ti ha detto che \(\int_a^\infty f\, dt\) esiste, in primo luogo? Se questo integrale esiste, allora puoi pensare a fare tendere \(a\) a zero (o all'estremo dell'intervallo di esistenza di \(\int_a^\infty\)). Ma tutto è possibile. Ci sono funzioni per cui
\[
\lim_{\epsilon\to 0} \int_\epsilon^{\frac1{\epsilon}} f(t)\, dt \]
esiste, ma \(\lim_{\epsilon\to 0} \int_{\epsilon}^1 f(t)\, dt\) non esiste. Queste cose si capiscono bene quando si studia l'integrale di Lebesgue, e il concetto di "assoluta convergenza". Gli integrali assolutamente convergenti sono quelli che si possono calcolare un po' come si vuole, e il risultato è indipendente dal "metodo di sommazione", ossia da come si decide di passare al limite.
Ci sono dei bei post di Gugo al riguardo, solo che non li trovo.
\[
\lim_{\epsilon\to 0} \int_\epsilon^{\frac1{\epsilon}} f(t)\, dt \]
esiste, ma \(\lim_{\epsilon\to 0} \int_{\epsilon}^1 f(t)\, dt\) non esiste. Queste cose si capiscono bene quando si studia l'integrale di Lebesgue, e il concetto di "assoluta convergenza". Gli integrali assolutamente convergenti sono quelli che si possono calcolare un po' come si vuole, e il risultato è indipendente dal "metodo di sommazione", ossia da come si decide di passare al limite.
Ci sono dei bei post di Gugo al riguardo, solo che non li trovo.
"dissonance":
Chi ti ha detto che \(\int_a^\infty f\, dt\) esiste, in primo luogo?
Ma l'ipotesi era $f$ localmente integrabile in $(a,+\infty)$ , quindi $f$ è integrabile su ogni sottoinsieme compatto di $(a,+\infty)$ per ipotesi.
Quindi anche facendo riferimento al post di gugo, f è impropriamente integrabile in $(a,+\infty)$ e vale $ int_(a)^(+infty)f(t)dt=lim_(x->+infty)int_(c)^(x)f(t)dt+lim_(y->a^+)int_(y)^(c)f(t)dt $ (con la notazione in due variabili).
O sbaglio?
@Bossmer
Ho messo il meno, perché il secondo integrale è $lim_(y->a^+)int_(y)^(c)f(t)dt$
PS: niente ho considerato la scritta $F(y)-F(c)$ e ho messo il meno, mi sono confuso
mi è sorto il dubbio, perché facendo comunque il corso di analisi 1, mi sembra una cosa abbastanza insolita.
Nonostante non si influenzino, concettualmente penso vada ben definito.
@dissonance
Si ovviamente nel caso in cui tale limiti, o limiti che siano, esistano.
Infatti era una cosa più basata sulla definizione di tale integrale improprio per un corso di analisi 1.
Leggo il post di gugo, però a livello di definizione, qual è la cosa migliore?
@bossmer
La funzione $sinx$ è localmente integrabile su $[0,+infty)$, ma $int_(0)^(+infty)sinxdx$ non esiste.
Ho messo il meno, perché il secondo integrale è $lim_(y->a^+)int_(y)^(c)f(t)dt$
PS: niente ho considerato la scritta $F(y)-F(c)$ e ho messo il meno, mi sono confuso
mi è sorto il dubbio, perché facendo comunque il corso di analisi 1, mi sembra una cosa abbastanza insolita.
Nonostante non si influenzino, concettualmente penso vada ben definito.
@dissonance
Si ovviamente nel caso in cui tale limiti, o limiti che siano, esistano.
Infatti era una cosa più basata sulla definizione di tale integrale improprio per un corso di analisi 1.
Leggo il post di gugo, però a livello di definizione, qual è la cosa migliore?
@bossmer
La funzione $sinx$ è localmente integrabile su $[0,+infty)$, ma $int_(0)^(+infty)sinxdx$ non esiste.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo