Integrali impropri/generalizzati
Salve, devo stabilire se il seguente integrale generalizzato converga o diverga:
$\int_{-\infty}^{1} (x^4e^x) dx $
Per 1 l'integrale non ha problemi, dunque bisogna studiare la convergenza/divergenza in $-\infty$
So che è abbastanza banale, ma non saprei come gestire $e^x$.
Gli strumenti che ho a disposizione per risolvere l'integrale sono:
-Criterio della convergenza/convergenza asintotica
-Criterio del confronto
$\int_{-\infty}^{1} (x^4e^x) dx $
Per 1 l'integrale non ha problemi, dunque bisogna studiare la convergenza/divergenza in $-\infty$
So che è abbastanza banale, ma non saprei come gestire $e^x$.
Gli strumenti che ho a disposizione per risolvere l'integrale sono:
-Criterio della convergenza/convergenza asintotica
-Criterio del confronto
Risposte
prova a dimostrare,con de L'Hopital,che l'integrando a $-infty$ è un infinitesimo di ordine superiore a $1$ (in verità è un infinitesimo di ordine superiore ad ogni $n$,ma a te basta $1$)
Ok, ho calcolato $\lim _{x\to \-infty}$ $x^4e^x =0$
Dunque $x^4e^x = o(1)$
Per il criterio del confronto allora $ \int_{-\infty}^{1} (x^4e^x) dx$ e $ \int_{-\infty}^{1} dx $ hanno lo stesso carattere dunque divergono entrambi.
Secondo l'esercizio però l'integrale di partenza dovrebbe convergere nell'intervallo considerato
Dunque $x^4e^x = o(1)$
Per il criterio del confronto allora $ \int_{-\infty}^{1} (x^4e^x) dx$ e $ \int_{-\infty}^{1} dx $ hanno lo stesso carattere dunque divergono entrambi.
Secondo l'esercizio però l'integrale di partenza dovrebbe convergere nell'intervallo considerato
io avevo detto tutt'altra cosa
$ lim_(x -> -infty) (x^4e^x)/(1/x)=0 $
quindi a $-infty$ l'integrando è un infinitesimo di ordine superiore ad $1$
l'integrale converge
$ lim_(x -> -infty) (x^4e^x)/(1/x)=0 $
quindi a $-infty$ l'integrando è un infinitesimo di ordine superiore ad $1$
l'integrale converge
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