INTEGRALI IMPROPRI - URGENTISSIMO
[size=150]Sono uno studente di ingegneria nuovo del forum, ma non di matematicamente.it
Per affermare che un integrale improprio converge o diverge, senza svolgere lo stesso, esistono:
- il criterio del confronto
- il criterio del confronto asintotico.
Esiste un metodo "sicuro" per la costruzione di una funzione semplice asintoticamente equivalente ad un'altra ? Vi prego di volermi aiutare con estrema urgenza.
Grazie
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Per affermare che un integrale improprio converge o diverge, senza svolgere lo stesso, esistono:
- il criterio del confronto
- il criterio del confronto asintotico.
Esiste un metodo "sicuro" per la costruzione di una funzione semplice asintoticamente equivalente ad un'altra ? Vi prego di volermi aiutare con estrema urgenza.
Grazie
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Risposte
Reggio Calabria?! Mi fa piacere! 
Sia come sia, la risposta è "no". Senonché tipicamente il confronto viene effettuato con riferimento agli infiniti/infinitesimi "campione", cioè alle funzioni del tipo $(x-x_0)^\alpha$, là dove l'integranda presenti una singolarità al finito nel punto $x_0$ e sia però continua in un intorno (eventualmente monolatero) di centro $x_0$ e raggio opportuno, a esclusione del punto; oppure del tipo $x^\alpha$, là dove l'integrazione si estenda all'infinito e l'integranda, almeno definitivamente, non presenti singolarità al finito.
Sia come sia, la risposta è "no". Senonché tipicamente il confronto viene effettuato con riferimento agli infiniti/infinitesimi "campione", cioè alle funzioni del tipo $(x-x_0)^\alpha$, là dove l'integranda presenti una singolarità al finito nel punto $x_0$ e sia però continua in un intorno (eventualmente monolatero) di centro $x_0$ e raggio opportuno, a esclusione del punto; oppure del tipo $x^\alpha$, là dove l'integrazione si estenda all'infinito e l'integranda, almeno definitivamente, non presenti singolarità al finito.
Ultima cosa ! Una funzione è asintoticamente equivalente quando ?
f(x) ~ g(x)
se il lim f(x) / g(x) per x-> c è un valore diverso da 0 e +/- infinito ?
c può essere pure infinito ?
Grazie
f(x) ~ g(x)
se il lim f(x) / g(x) per x-> c è un valore diverso da 0 e +/- infinito ?
c può essere pure infinito ?
Grazie
c può essere anche infinito, sì, e il limite dev'essere 1.
"parallel":
Perchè ? Cosa non va bene qui a Reggio Calabria ?
Nulla, parallel, non c'è nulla (oddio, non esageriamo!) che non vada bene, lì a Reggio Calabria. Soprattutto se consideri che io ci vivo e ci lavoro, a Reggio Cal.
Siamo sicuri che il limite deve essere uguale ad 1 ?
Su un testo riporta che deve essere uguale ad L, con L diverso da 0 e +/- infinito.
Mi potreste dare una risposta con certezza ?
Grazie tante !
P. S.
HiTLeuLeR non alludevo a cose negative, dalle tue parole sospettavo che fossi mio concittadino
Su un testo riporta che deve essere uguale ad L, con L diverso da 0 e +/- infinito.
Mi potreste dare una risposta con certezza ?
Grazie tante !
P. S.
HiTLeuLeR non alludevo a cose negative, dalle tue parole sospettavo che fossi mio concittadino
f è asintotica a g per x che tende a c se il limite per x->c di f/g è 1, non qualsiasi L diverso da 0.
Anche sul mio testo c'è scritto che una funzione è equivalente ad un altra il limite deve esser una costante diversa da zero ed infinito.
Invece si dice fortemente equivalente quando tale costante è uno.
Invece si dice fortemente equivalente quando tale costante è uno.
per la validità del criterio è sufficiente che ci sia una costante diversa da zero e infinito
Mah... Mi sembra strano...
Cioè, direi che se $lim_(x->c) (f(x))/(g(x))=L$ allora
$f(x)$ non è asintotica a $g(x)$ per $x->c$, ma
è asintotica a $\mathbf(L*g(x))$ per $x->c$.
Provate anche con un grafico... $sin(2x)$ non è
asintotica a $x$ per $x->0$ (in questo caso il
limite del rapporto viene 2), ma a $\mathbf{2x}$!
Cioè, direi che se $lim_(x->c) (f(x))/(g(x))=L$ allora
$f(x)$ non è asintotica a $g(x)$ per $x->c$, ma
è asintotica a $\mathbf(L*g(x))$ per $x->c$.
Provate anche con un grafico... $sin(2x)$ non è
asintotica a $x$ per $x->0$ (in questo caso il
limite del rapporto viene 2), ma a $\mathbf{2x}$!
[size=150]Insomma una definizione matematica che dovrebbe essere rigorosa, viene riportata in modi differenti anche sui testi. A chi credere ?!![/size]
Prova a disegnare sullo stesso piano cartesiano
i grafici di 2x e del seno di 2x: non noti che, nell'intorno
dell'origine, l'uno si confonde con l'altro? Questo
è proprio perché una funzione è asintotica all'altra!
Se invece disegni x e il seno di 2x, vedi che
non si "confondono" tra loro nell'intorno dell'origine
e quindi, essendo il limite del rapporto uguale a 2
(nel caso di $(sin(2x))/x$ per x che tende a 0) e
a $1/2$ (nel caso di $x/(sin(2x))$ per x che tende a 0),
le due funzioni NON sono asintotiche!
i grafici di 2x e del seno di 2x: non noti che, nell'intorno
dell'origine, l'uno si confonde con l'altro? Questo
è proprio perché una funzione è asintotica all'altra!
Se invece disegni x e il seno di 2x, vedi che
non si "confondono" tra loro nell'intorno dell'origine
e quindi, essendo il limite del rapporto uguale a 2
(nel caso di $(sin(2x))/x$ per x che tende a 0) e
a $1/2$ (nel caso di $x/(sin(2x))$ per x che tende a 0),
le due funzioni NON sono asintotiche!
La definizione è questa. f è asintotica a g per $x->c$ (con tutte le varie ipotesi etc.) se:
$f(x)=g(x)(1+o(1))$ per $x->c$
ovvero se il rapporto f/g tende a 1.
$f(x)=g(x)(1+o(1))$ per $x->c$
ovvero se il rapporto f/g tende a 1.
Infatti quello che tu chiami asintoticità rappresenta l'equivalenza stretta e come giustamente dici deve aver limite 1. Discorso diverso invece per l'altra definizione, che vuole semplicemente indicare due infiniti/infinitesimi dello stesso ordine.
Perfetto ora ci siamo, mi sa che questo libro è meglio che lo butto
"cavallipurosangue":
Infatti quello che tu chiami asintoticità rappresenta l'equivalenza stretta e come giustamente dici deve aver limite 1. Discorso diverso invece per l'altra definizione, che vuole semplicemente indicare due infiniti/infinitesimi dello stesso ordine.
appunto, per avere l'integrabilità non è necessario che f e g siano asintotiche, ma è sufficiente che abbiano lo stesso ordine di infinito\infinitesimo (per convincersene, basta ricordare che le costanti si possono portare fuori dall'integrtale). Ovviamente i valori dei due integrali sono diversi a priori.
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