Integrali impropri seno

[Studente Anonimo]

Sia \( f: ]0,\pi] \rightarrow \mathbb{R} \) la funzione definita da \( f(t) = 0 \) se \( t=0 \) e \( f(t) = \frac{1}{2\sin(\frac{t}{2})} - \frac{1}{t} \) se \( 0 Dimostra che \[ \text{1)}\ \lim\limits_{n\to \infty} \int_{0}^{\pi} f(t) \sin\begin{bmatrix}
\begin{pmatrix}
n+ \frac{1}{2}
\end{pmatrix}t
\end{bmatrix}dt = 0 \]

\[ \text{2)}\ \lim\limits_{n\to \infty} \int_{0}^{(n+1/2)\pi}\frac{\sin t}{t}dt = \frac{\pi}{2} \]

\[ \text{3)}\ \int_{0}^{\infty}\frac{\sin t}{t}dt = \int_{0}^{\infty}\frac{\sin^2 t}{t^2}dt =\frac{\pi}{2} \]

Per il primo io ho pensato a questo:

\[\lim\limits_{n\to \infty} \int_{0}^{\pi} f(t) \sin\begin{bmatrix}
\begin{pmatrix}
n+ \frac{1}{2}
\end{pmatrix}t
\end{bmatrix}dt = \lim\limits_{n\to \infty} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin\begin{bmatrix}
\begin{pmatrix}
n+ \frac{1}{2}
\end{pmatrix}t
\end{bmatrix}}{2\sin (\frac{t}{2})} - \frac{\sin\begin{bmatrix}
\begin{pmatrix}
n+ \frac{1}{2}
\end{pmatrix}t
\end{bmatrix}}{t}dt\]
Spezziamo l'nitegrale e studiamo il primo integrale, sia inoltre \( \varepsilon \in ]0,\pi] \)
\[ \lim\limits_{\varepsilon \to 0} \lim\limits_{n \to \infty} \int_{\varepsilon}^{\pi} \frac{\sin\begin{bmatrix}
\begin{pmatrix}
n+ \frac{1}{2}
\end{pmatrix}t
\end{bmatrix}}{2\sin (\frac{t}{2})} dt \], Abbiamo inoltre la seguente eguaglianza con \( t \in ]0, \pi] \) e \( n >0 \)
\[ \frac{\sin\begin{bmatrix}
\begin{pmatrix}
n+ \frac{1}{2}
\end{pmatrix}t
\end{bmatrix}}{2\sin (\frac{t}{2})} = \frac{1}{2} + \sum\limits_{k=1}^{n} \cos(kt) \Leftrightarrow \sin\begin{bmatrix}
\begin{pmatrix}
n+ \frac{1}{2}
\end{pmatrix}t
\end{bmatrix} = \sin \begin{pmatrix}
\frac{t}{2}
\end{pmatrix} + \sum\limits_{k=1}^{n} 2\sin \begin{pmatrix}
\frac{t}{2}
\end{pmatrix}\cos(kt)\]
\[ = \sin \begin{pmatrix}
\frac{t}{2}
\end{pmatrix} + \sum\limits_{k=1}^{n} \sin \begin{pmatrix}
\frac{t}{2} + kt
\end{pmatrix}+\sin \begin{pmatrix}
\frac{t}{2} - kt
\end{pmatrix}= \sin \begin{pmatrix}
\frac{t}{2}
\end{pmatrix} + \sum\limits_{k=1}^{n} \sin \begin{pmatrix}
\frac{t}{2} + kt
\end{pmatrix}-\sin \begin{pmatrix}
kt-\frac{t}{2}
\end{pmatrix}\]
\[=\sin \begin{pmatrix}
\frac{t}{2}
\end{pmatrix}+\sin \begin{pmatrix}
\frac{3t}{2}
\end{pmatrix}-\sin \begin{pmatrix}
\frac{t}{2}
\end{pmatrix}+\ldots + \sin \begin{pmatrix}
\frac{(2n-1)t}{2}
\end{pmatrix}+\sin \begin{pmatrix}
\frac{(2n+1)t}{2}
\end{pmatrix}-\sin \begin{pmatrix}
\frac{(2n-1)t}{2}
\end{pmatrix}\]
Dunque tornando all'integrale
\[ \lim\limits_{\varepsilon \to 0} \lim\limits_{n \to \infty} \int_{\varepsilon}^{\pi} \frac{\sin\begin{bmatrix}
\begin{pmatrix}
n+ \frac{1}{2}
\end{pmatrix}t
\end{bmatrix}}{2\sin (\frac{t}{2})} dt=\lim\limits_{\varepsilon \to 0} \lim\limits_{n \to \infty} \frac{t}{2} + \int_{\varepsilon}^{\pi} \sum\limits_{k=1}^{n} \cos(kt) dt\]
\[=\lim\limits_{\varepsilon \to 0} \lim\limits_{n \to \infty} \frac{\pi}{2} - \frac{\varepsilon}{2} + \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{\sin(k\pi)}{k} - \frac{\sin(k\varepsilon)}{k} = \frac{\pi}{2}\]

Pertanto dobbiamo avere che \[ \lim\limits_{\varepsilon \to 0} \lim\limits_{n \to \infty} \int_{\varepsilon}^{\pi} \frac{\sin\begin{bmatrix}
\begin{pmatrix}
n+ \frac{1}{2}
\end{pmatrix}t
\end{bmatrix}}{t} dt=\frac{\pi}{2} \]
Ma non riesco a dimostrarlo... suggerimenti? Mi sembra anche sensato in quanto l'esercizio 2) è praticamente identico. Qui le altre domande, il fatto che l'integrale qui sopra faccia \( \frac{\pi}{2} \) implica il 2)? E il 2) implica direttamente che \[ \int_{0}^{\infty} \frac{\sin t}{t} dt = \frac{\pi}{2} \] oppure no??

[Bokonon]

C'è un modo elegante per risolvere quell'integrale con la derivazione sotto integrale.

[Studente Anonimo]

"Bokonon":C'è un modo elegante per risolvere quell'integrale con la derivazione sotto integrale.

Credo sia un po' avanzato per il mio livello. In primo luogo non abbiamo fatto l'integrale secondo Lebesgue inoltre non capisco, non capisco il motivo per cui \( \frac{d}{db} \) diventi poi una derivata parziale, inoltre non ho idea del perché calcolare \( I'(b) \) ci conduce poi al risultato desiderato.

[pilloeffe]

Ciao 3m0o,

Nel 1909, cioè 110 anni fa, G.H. Hardy scrisse due articoli con circa una dozzina di modi differenti di dimostrare che $\int_0^{+\infty} sinx/x \text{d}x =\pi/2 $:
http://www.math.harvard.edu/~ctm/home/text/class/harvard/55b/10/html/home/hardy/sinx/sinx.pdf
Dai un'occhiata qui e scegli quello che ti piace di più...

[Cantor99]

Per calcolare quell'integrale si può partire anche da
\[
I=\iint_{R} \sin(x)e^{-xy}dxdy
\]
dove $R$ è il primo quadrante cartesiano

Il primo quadrante è un dominio normale rispetto entrambi gli assi. Integrando prima rispetto $y$ otteniamo
\[
I=\iint_{R} \sin{x}e^{-xy}dxdy=\int_{0}^{+\infty} \sin(x)dx\int_{0}^{+\infty}e^{-xy}dy=
\]
\[
\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(x)}{-x}dx\int_{0}^{+\infty}-xe^{-xy}dy=
\]
\[
\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin(x)}{-x}|e^{-xy}|_{0}^{+\infty}=
\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x}dx
\]
Integrando, invece, prima rispetto $x$
\[
I=\int_{0}^{+\infty} dy \int_{0}^{+\infty} \sin(x)e^{-xy}dx
\]
Procedendo per parti, si ha
\[
\int \sin(x)e^{-xy}dx=-\frac{1}{y}\sin(x)e^{-xy}+\frac{1}{y}\int \cos(x)e^{-xy}dx=
\]
\[
-\frac{1}{y}\sin(x)e^{-xy}-\frac{1}{y^{2}}\cos(x)e^{-xy}-\frac{1}{y^{2}}\int \sin(x)e^{-xy}dx
\]
Da cui
\[
\int_{0}^{+\infty} \sin(x)e^{-xy}dx=-\bigg|\frac{e^{-xy}}{y^{2}+1}(\cos(x)+y\sin(x)\bigg|_{0}^{+\infty}=\frac{1}{1+y^{2}}
\]
Infine
\[
I=\int_{0}^{+\infty} \frac{dy}{1+y^{2}}=\frac{\pi}{2}
\]

[Studente Anonimo]

Grazie ad entrambi

[dissonance]

"pilloeffe":Ciao 3m0o,

Nel 1909, cioè 110 anni fa, G.H. Hardy scrisse due articoli con circa una dozzina di modi differenti di dimostrare che $\int_0^{+\infty} sinx/x \text{d}x =\pi/2 $:
http://www.math.harvard.edu/~ctm/home/text/class/harvard/55b/10/html/home/hardy/sinx/sinx.pdf
Dai un'occhiata qui e scegli quello che ti piace di più...

Grazie!

Tempo fa ho trovato questa nota:

https://www.carma.newcastle.edu.au/jon/sinc-sums.pdf

"Surprising Sinc sums and integrals", di Baillie, D.Borwein e J.Borwein. Questa nota parla del fatto sorprendente che
\[
\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}\, dx = \int_0^\infty \frac{\sin^2 x}{x^2}\, dx, \]
e di altri fatti analoghi.

[Mephlip]

Il punto 1) sembra adatto all'uso del lemma di Riemann-Lebesgue, però non so se l'hai studiato!

[Studente Anonimo]

"Mephlip":Il punto 1) sembra adatto all'uso del lemma di Riemann-Lebesgue, però non so se l'hai studiato!

Non ho idea di cosa sia ahah

[pilloeffe]

"dissonance": Grazie!

Ciao dissonance, sempre gentile: forse è solo un'impressione, ma pare che stessi da tempo cercando il documento del link. Comunque anche quello che hai postato tu non è niente male, me lo sono scaricato subito...

@3m0o:
Dai un'occhiata anche a questo esercizio proposto qualche tempo fa dall'utente dan95.