Integrali Impropri e Confronti
Ciao,
stavo studiando il procedimento per risolvere gli integrali impropri...
Non mi è chiaro il procedimento che utilizza il teorema del confronto.
Praticamente, per quello che ho capito, si cerca di confrontare la funzione f(x) dell'integrale improprio con una funzione g(x) di cui si conosce il comportamento e che "assomiglia" alla funzione f(x) data... Però come faccio a capire quale funzione gx devo usare ?
Per esempio vi vorrei proporre questi due esempi, non ho capito come svolgerli...
stavo studiando il procedimento per risolvere gli integrali impropri...
Non mi è chiaro il procedimento che utilizza il teorema del confronto.
Praticamente, per quello che ho capito, si cerca di confrontare la funzione f(x) dell'integrale improprio con una funzione g(x) di cui si conosce il comportamento e che "assomiglia" alla funzione f(x) data... Però come faccio a capire quale funzione gx devo usare ?
Per esempio vi vorrei proporre questi due esempi, non ho capito come svolgerli...
Risposte
I primi due integrali vanno risolti con il teorema del confronto asintotico, il terzo come limite per t->0 di inegrale di log(x) fra 1 e t.
1)Il grado del numeratore e sqrt(4), cioè due, il grado del denominatore è 4, la differenza di grado è -1.
Confronto asintoticamente questo integrale con l'integrale fra 1 e +inf di 1/x.
Quest'ultimo diverge, in quanto alpha=1, quindi diverge anche l'integrale di partenza
2)Stesso ragionamente per il secondo.
Confronto questo integrale con 1/x^8, che converge in quanto alpha>1.
Quindi questo secondo integrale converge.
3)Per quanto riguarda il terzo l'integrale di logx è xlogx-x+c.
Questo integrale incrementato fra 1 e t risulta essere tlnt-t+1
Ora basta fare il limite di t->0+
limt->0+ tlnt fa 0 (si può risolvere inl limite con de l'hopital), quindi lim t->0+ tlnt-t+1 fa 1.
Quindi questo integrale converge a 1.
PS: Spero di non aver sbagliato niente!!!
1)Il grado del numeratore e sqrt(4), cioè due, il grado del denominatore è 4, la differenza di grado è -1.
Confronto asintoticamente questo integrale con l'integrale fra 1 e +inf di 1/x.
Quest'ultimo diverge, in quanto alpha=1, quindi diverge anche l'integrale di partenza
2)Stesso ragionamente per il secondo.
Confronto questo integrale con 1/x^8, che converge in quanto alpha>1.
Quindi questo secondo integrale converge.
3)Per quanto riguarda il terzo l'integrale di logx è xlogx-x+c.
Questo integrale incrementato fra 1 e t risulta essere tlnt-t+1
Ora basta fare il limite di t->0+
limt->0+ tlnt fa 0 (si può risolvere inl limite con de l'hopital), quindi lim t->0+ tlnt-t+1 fa 1.
Quindi questo integrale converge a 1.
PS: Spero di non aver sbagliato niente!!!
mm grazie per la risposta!
Però non ho capito il discorso dell'alfa...
Però non ho capito il discorso dell'alfa...
Supponiamo di avere un integrale fra i e +inf di 1/x^(alpha)
Questo integrale converge per alpha >1 e diverge per alpha<=1
Si può dimostrare con il limite di t->+inf dell'integrale fra 1 e t di 1/x^alpha
Quando hai un integrale da confrontare scegli alpha come meglio ti fa comodo.
Se l'alpha è <=1 l'integrale diverge, altrimenti converge.
Questo è il caso in cui il l'integrale sia generalizzato in +inf
Se invece hai un integrale generalizzato in un valore finito, ad esempio integrale fra 1 e a di 1/(x-a)^alpha, questo integrale converge per alpha<1 e diverge per allpha>=1.
Se ad esempio hai questo integrale, fra 1 e 2 di 3/(sqrt(x-2))
L'integrale è generalizzato in 2, non in infinito.
La differenza di grado fra sopra è -1/2.
Fai un confronto asintotico con 1/(x-2)^1/2
In questo caso alpha=1/2<1, quindi entrambi gli integrali convergono.
Se invece lo stesso integrale fosse stato fra 3 e +inf divergerebbe.
È un po' più chiaro adesso?
Questo integrale converge per alpha >1 e diverge per alpha<=1
Si può dimostrare con il limite di t->+inf dell'integrale fra 1 e t di 1/x^alpha
Quando hai un integrale da confrontare scegli alpha come meglio ti fa comodo.
Se l'alpha è <=1 l'integrale diverge, altrimenti converge.
Questo è il caso in cui il l'integrale sia generalizzato in +inf
Se invece hai un integrale generalizzato in un valore finito, ad esempio integrale fra 1 e a di 1/(x-a)^alpha, questo integrale converge per alpha<1 e diverge per allpha>=1.
Se ad esempio hai questo integrale, fra 1 e 2 di 3/(sqrt(x-2))
L'integrale è generalizzato in 2, non in infinito.
La differenza di grado fra sopra è -1/2.
Fai un confronto asintotico con 1/(x-2)^1/2
In questo caso alpha=1/2<1, quindi entrambi gli integrali convergono.
Se invece lo stesso integrale fosse stato fra 3 e +inf divergerebbe.
È un po' più chiaro adesso?
quindi alfa è uguale alla differenza di grado tra il numeratore ed il denominatore a quanto ho capito...
cioè se io ho f(x) = x/x^3 -> alfa = 1 - 3 = 2 > 1 quindi in questo caso converge... ?
cioè se io ho f(x) = x/x^3 -> alfa = 1 - 3 = 2 > 1 quindi in questo caso converge... ?
Se si tratta solo di polinomi sì, altrimenti puoi andare a cercare i limiti notevoli
Ad esempio se hai integrale fra 1 e +inf di sen1/x fai un confronto asintotico con 1/x
lim x->+inf di (sen1/x)/(1/x) fa 1, i due integrali si comportano ugualmente.
Il secondo diverge perché alpha =1, quindi diverge anche il primo.
Devi scegliere l'alpha che ti fa comodo.
lim x->+inf di (sen1/x)/(1/x) fa 1, i due integrali si comportano ugualmente.
Il secondo diverge perché alpha =1, quindi diverge anche il primo.
Devi scegliere l'alpha che ti fa comodo.
mm ok, grazie!
però una cosa... cioè se ho capito bene nel caso di sin(1/x) tu consideri il limite notevole perchè 1/x tende a zero per x -> +inf vero ?
Tu dici che 1/x ha alfa = 1, però dato che il numeratore ha grado 0 non dovrebbe essere alfa = -1 ? e quindi 1/x per x->+inf converge a zero ?
però una cosa... cioè se ho capito bene nel caso di sin(1/x) tu consideri il limite notevole perchè 1/x tende a zero per x -> +inf vero ?
Tu dici che 1/x ha alfa = 1, però dato che il numeratore ha grado 0 non dovrebbe essere alfa = -1 ? e quindi 1/x per x->+inf converge a zero ?
Effettivamente sulla questione dei gradi mi sono spiegato un po' male.
La differenza dei gradi funziona nel caso di funzioni polinomiali e solo nel caso in cui l'integrale sia generalizzato all'infinito.
Se invece avessi l'integrale fra 1 e 2 di (x^3)/sqrt(x-2) il problema sarebbe ovviamente in due.
In questo caso devo riuscire a cotruire un limite in cui semplificare sqrt(x-2), quindi confronto asintoticamente il mio integrale con 1/(x-2)^1/2
Calcolo il limite per x->2 di ((x^3)/sqrt(x-2))/(1/sqrt(x-2)), semplificando ottendo lim x->2 x^3 =8
Il risultato del limite è un numero, i due integrali si comportano ugualmente, visto che quello che ho scelto io convergeva, converge anche quello di partenza.
Se invece non ho polinomi ma funzioni trascendenti i gradi non funzionano, ma si deve solo vedere a cosa possono essere asintoticamente equivalenti.
Nell'esempio del seno sen1/x è equivalente a 1/x (ovviamente per x-> +inf), è per questo motivo che scelgo 1/x.
Se dovessi avere invece un integrale con una funzione in parte trascendente e in parte razionale, ad esempio integrale fra 1 e +inf di (1/(x-2)^3)* sen(1/x^5) devo ragiovanare in questo modo.
La prima parte è asintoticamente equivalente (in altre parole se faccio il limite all'inf ottengo un numero) a 1/x^3 (in questo caso puoi ragionare con i gradi) mentre la seconda è equivalente a 1/x^5 (in questo caso devi ragionare con i limiti notevoli)
Quindi devo confrontare tutto l'integrale con 1/x^3 * 1/x^5, e cioè con 1/x^8.
1/x^8 converge perché alpha > 1, quindi anche l'integrale di partenza converge.
Spero di essere stato un po' più chiaro))
La differenza dei gradi funziona nel caso di funzioni polinomiali e solo nel caso in cui l'integrale sia generalizzato all'infinito.
Se invece avessi l'integrale fra 1 e 2 di (x^3)/sqrt(x-2) il problema sarebbe ovviamente in due.
In questo caso devo riuscire a cotruire un limite in cui semplificare sqrt(x-2), quindi confronto asintoticamente il mio integrale con 1/(x-2)^1/2
Calcolo il limite per x->2 di ((x^3)/sqrt(x-2))/(1/sqrt(x-2)), semplificando ottendo lim x->2 x^3 =8
Il risultato del limite è un numero, i due integrali si comportano ugualmente, visto che quello che ho scelto io convergeva, converge anche quello di partenza.
Se invece non ho polinomi ma funzioni trascendenti i gradi non funzionano, ma si deve solo vedere a cosa possono essere asintoticamente equivalenti.
Nell'esempio del seno sen1/x è equivalente a 1/x (ovviamente per x-> +inf), è per questo motivo che scelgo 1/x.
Se dovessi avere invece un integrale con una funzione in parte trascendente e in parte razionale, ad esempio integrale fra 1 e +inf di (1/(x-2)^3)* sen(1/x^5) devo ragiovanare in questo modo.
La prima parte è asintoticamente equivalente (in altre parole se faccio il limite all'inf ottengo un numero) a 1/x^3 (in questo caso puoi ragionare con i gradi) mentre la seconda è equivalente a 1/x^5 (in questo caso devi ragionare con i limiti notevoli)
Quindi devo confrontare tutto l'integrale con 1/x^3 * 1/x^5, e cioè con 1/x^8.
1/x^8 converge perché alpha > 1, quindi anche l'integrale di partenza converge.
Spero di essere stato un po' più chiaro
))
quote:
Originally posted by Tipper
In questo caso devo riuscire a cotruire un limite in cui semplificare sqrt(x-2), quindi confronto asintoticamente il mio integrale con 1/(x-2)^1/2
Si, sei stato chiaro! Grazie!
Però, io la storia del trovare la g(x) a piacere per semplificare la funzione f(x) lo vedo un pò troppo "libero" come metodo di procedimento... non so, così non si rischia di andare a studiare una funzione diversa ?
se io ho ad esempio x^3 / sqrt( sinx +1 ) integrata in un certo intervallo e vado a confrontarla con g(x) = 1 / sqrt( sinx +1 ), non faccio un errore ?
Anche il semplificare rientrava con le funzioni razionali.
Se vai nelle funzioni trascendenti tutto si complica (ammetto comunque che ho provato a darti dei consigli, ma non sono ferratissimo con gli integrali generalizzati)
Se vai nelle funzioni trascendenti tutto si complica (ammetto comunque che ho provato a darti dei consigli, ma non sono ferratissimo con gli integrali generalizzati)
Non raionali, volevo dire polinomiali
A dire il vero potrebbe anche andar bene confrontare x^3/(sqrt(senx+1) con 1/sqrt(senx+1), in questo caso il limite tornerebbe un numero.
Si suppone infatti che l'integrale sia generalizzato in 3pi/2.
Dovresti però, prima di fare questo, stabilire se 1/sqrt(senx+1) converge o diverge.
Si suppone infatti che l'integrale sia generalizzato in 3pi/2.
Dovresti però, prima di fare questo, stabilire se 1/sqrt(senx+1) converge o diverge.
mm ok!
più o meno ho capito il senso del discorso...
Certo studiare un integrale generalizzato non è sempre una cosa facile...
più o meno ho capito il senso del discorso...
Certo studiare un integrale generalizzato non è sempre una cosa facile...
Direi proprio di no!
Studiare un integrale generalizzato è come studiare una serie, non le ho mai sopportate...
Studiare un integrale generalizzato è come studiare una serie, non le ho mai sopportate...
eheh non sei il solo, a parte le serie di leibniz, le altre le odio tutte!!!
Ho trovato questo esercizio:
Dire per quali valori di alfa l'integrale converge:
Perchè lui lo confronta con questo?
Nno riesco a capire il passaggio che fa... o cmq il ragionamento...
Dire per quali valori di alfa l'integrale converge:
Perchè lui lo confronta con questo?
Nno riesco a capire il passaggio che fa... o cmq il ragionamento...
L’integrale è generalizzato in 2, con il confronto asintotico devi quindi fare un lim x->2
In questo caso puoi usare Taylor sul (sen(x-2))^alpha facendolo diventare un (x-2)^alpha e ottenendo:
ciò che ti crea il problema è (x-2)^alpha al num e (x-2)^1/2 al den, quindi per semplificarli devi confrontare con (x-2)^alpha/(x-2)^1/2, cioè con 1/(x-2)^1/2-alpha
Quest'ultimo converge per 1/2-alpha<1 e quindi il tutto converge per alpha>1/2
Io lo motiverei così, anche se sinceramente non ho capito perché prima di arrivare all’ultima forma c’è un 2 al num e un 2 al den.
In questo caso puoi usare Taylor sul (sen(x-2))^alpha facendolo diventare un (x-2)^alpha e ottenendo:
ciò che ti crea il problema è (x-2)^alpha al num e (x-2)^1/2 al den, quindi per semplificarli devi confrontare con (x-2)^alpha/(x-2)^1/2, cioè con 1/(x-2)^1/2-alpha
Quest'ultimo converge per 1/2-alpha<1 e quindi il tutto converge per alpha>1/2
Io lo motiverei così, anche se sinceramente non ho capito perché prima di arrivare all’ultima forma c’è un 2 al num e un 2 al den.
Volevo dire converge per alpha>-1/2
ma ha sviluppato con taylor in sin(x-2) perchè dato che x = 2 è come se si facesse lo sviluppo in zero ?
Nn ho ancora capito perchè mi mettano a sviluppare con taylor a volte alcune funzioni anche se non centrano lo sviluppo in zero! ho visto anltri esercizi fatti così, ma non ho ancora afferrato il perchè...
Nn ho ancora capito perchè mi mettano a sviluppare con taylor a volte alcune funzioni anche se non centrano lo sviluppo in zero! ho visto anltri esercizi fatti così, ma non ho ancora afferrato il perchè...
Se non hai chiaro lo sviluppo di taylor in x=2 fai la sostituzione t=x-2. ottieni sent per t->0, quindi è la stessa cosa.
Lo sviluppo in zero c'entra, se non lo vedi al volo puoi fare le opportune sostituzioni.
Questo esercizio però, ora che ci penso, si poteva risolvere con un metodo migliore, e forse più corretto, facendo questo ragionamento.
sen(x-2)^alpha, per x->2, è asintotico a (x-2)^alpha, per il limite notevole, ovviamente (x-2)^1/2 è asintoticamente equivalente a (x-2)^1/2, da cui la soluzione.
Lo sviluppo in zero c'entra, se non lo vedi al volo puoi fare le opportune sostituzioni.
Questo esercizio però, ora che ci penso, si poteva risolvere con un metodo migliore, e forse più corretto, facendo questo ragionamento.
sen(x-2)^alpha, per x->2, è asintotico a (x-2)^alpha, per il limite notevole, ovviamente (x-2)^1/2 è asintoticamente equivalente a (x-2)^1/2, da cui la soluzione.
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