Integrali impropri , criterio del confronto

[emiliomadonia]

Vi espongo un mio dubbio quando devo studiare il carattere di un integrale improprio con il criterio del confronto.
Esempio :
\[\int\limits_2^{ + \infty } {\frac{{dt}}{{\ln t}}} \]
La funzione integranda è sempre > 0 , quindi per il teorema di regolarità o converge o diverge positivamente. Procedo confrontando con la funzione \[\frac{1}{{{t^\alpha }}}\] .
Facendo il limite per t che tende a piu infinito del rapporto fra questa funzione e la funzione integranda mi viene 0.Adesso quindi mi basterebbe studiare \[\int\limits_2^{ + \infty } {\frac{1}{{{t^\alpha }}}} \].
Ma a questo punto , come stabilisco quanto vale \[\alpha \]?
Grazie per l'aiuto!

[Kashaman]

Non capisco. Stai dicendo che $(1/t^(\alpha))/(1/ln(t)) -> 0 $ per ogni $\alpha$?

[emiliomadonia]

"Kashaman":Non capisco. Stai dicendo che $(1/t^(\alpha))/(1/ln(t)) -> 0 $ per ogni $\alpha$?

Alfa maggiore di 0

[Brancaleone1]

"matr1x02":[quote="Kashaman"]Non capisco. Stai dicendo che $(1/t^(\alpha))/(1/ln(t)) -> 0 $ per ogni $\alpha$?

Alfa maggiore di 0[/quote]
Sì:

$lim_(t->+oo) 1/t^alpha ln(t)=0 text( per α > 0) $

Questo significa che, per $t->+oo$, il logaritmo all'interno dell'integrale tende a infinito con un ordine inferiore a qualunque $alpha$ positivo assegnato, che vogliamo porre arbitrariamente pari a $1$. In questo modo, l'integranda tende a $0$ con un ordine inderiore a $1$, poiché

$lim_(t->+oo) 1/(ln(t)) = 1/(+oo text( di ordine < 1))=0^+ text( di ordine < 1)$

Ciò è sufficiente per concludere che l'integrale diverge.