Integrali impropri con termine generale che tende a infinito

[m.ar_co_lino]

Ciao a tutti, io avrei una domanda che riguarda la convergenza all'infinito di un integrale improprio con termine generale che tende a infinito: il mio libro di analisi dice che non vale la regola generale per le serie, cioè se il termine generale tende a infinito, nulla posso dire sulla convergenza.
A me questa sembra una cosa piuttosto strana, perchè ad esempio per l'integrale \(\displaystyle {\int_{{1}}^{{+oo}}}{f{{\left({t}\right)}}}{\left.{d}{t}\right.} \) con \(\displaystyle f(t)=\frac {e^{2t}}{t} \), e ovvio che non può convergere, dato che rappresenta un'area che cresce sempre. E' così o mi sbaglio? E se non potessi fare questo ragionamento, come dovrei studiarlo per vedere se converge o no?

[Noisemaker]

in realtà l'analogo del teorema "il termine generale di una serie numerica convergente tende a zero" non è la proposizione ""la funzione integranda di un integrale improprio convergente tende a zero per $x\to+\infty$"" ma la proposizione ""dato un integrale improprio convergente, l'integrale della funzione integranda, esteso ad un intervallo di lunghezza cosatante, tende a zero quando l'intervallo si porta all'infinito""

in altre parole , per ogni $h>0$ si ha
\[\lim_{x\to+\infty}\int_{x}^{x+h} f(t) dt =0\]

il che discende immediatamente dal criterio di Cauchy

[Raptorista1]

@marcolino: quell'affermazione mi pare sospetta, anche perché se è vero che \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \] allora, proprio per la definizione di limite e per l'additività del dominio di integrazione,
\[ \int_0^{+\infty} f(x) \ dx = \lambda + \int_{x_M}^{+\infty} f(x) \ge \lambda + M \cdot m((x_M, +\infty )) = + \infty \]
[\(M\) e \(x_M\) sono le costanti della definizione di limite, \(m\) è la misura] ma fin qui ho scritto la cosa ovvia che anche tu pensavi..

Piuttosto, mi viene da chiedermi se il tuo libro non si riferisse al fatto la funzione integranda può non essere limitata [e questo è BEN DIVERSO dal dire che tende ad infinito] e comunque l'integrale convergere. Questa seconda affermazione è vera ed i controesempi sono anche interessanti.

[m.ar_co_lino]

ok lo ammetto, ho fatto l'errore di non leggere il testo con attenzione. Infatti c'è scritto che il problema sta nell'esistenza o meno del limite all'infinito della funzione: il limite può non esistere ma comunque l'integrale convergere, ma se il limite esiste necessariamente deve essere 0 affinchè sia assicurata la convergenza, mentre se tende ad infinito l'integrale non converge...scusate se vi ho fatto perdere tempo!