Integrali impropri con parametri

[tranesend]

Salve a tutti, ho problemi con la risoluzione degli integrali con i parametri. Alcuni di questi sono:
$\int_{1}^{oo} ((log(x))^alpha)/(x-1)^(3/2)dx$

$\int_{1}^{oo} ((log(x))^2)/(x-1)^(alpha)dx$

$\int_{1}^{oo} ((log(x))^alpha)/(x-1)^(2)dx$

$\int_{1}^{oo} ((log(x))/(x-1)^(alpha)dx$

Ho provato a fare il primo provando a calcolare
$\lim_{z \to \infty} int_{1}^{z} ((log(z))^alpha)/(z-1)^(3/2)dx$ $<=$ $\int_{1}^{z} (((z-1)^alpha)/(z-1)^(3/2))dx$ = $\int_{1}^{z} 1/(z-1)^((3/2)-alpha)dx$ che quindi converge per $3/2-alpha > 1$ e quindi per $alpha<(3/2)$. Però non viene ovviamente. Come si possono risolvere i seguenti integrali?

[Raptorista1]

Certo che non viene, hai fatto una maggiorazione a caso!
Magari potresti voler usare un qualche criterio di convergenza?

[tranesend]

eh mene sono accorto che ho maggiorato male haha. MA come posso risolverlo?

[Raptorista1]

"Raptorista":Magari potresti voler usare un qualche criterio di convergenza?

[tranesend]

Ok provo ad usare il criterio del confronto asintotico per svolgere la prima. Applico prima di tutto una semplice sostituzione cioè pongo $t^2=x-1$ e sfruttando il limite notevole del logaritmo per $t->0+$ ottengo che
$\int_0^infty [(log(1+t^2))^alpha]/(t^2)dt ~= lim_(t->0+) \int_{0}^{infty} [t^(2*alpha)]/(t^2)dt$ $=$ $\int_{0}^{infty} [1]/(t^(2-2*alpha))dt$.
E quindi dovrebbe divergere se $2-2*alpha < 1$ e quindi quando $alpha>(1/2)$. Giusto?
Come posso comportarmi per l'altro intorno?

[Raptorista1]

Se per "altro intorno" intendi \(+\infty\), allora non vedo il problema, il carattere dell'integrale è abbastanza immediato.