Integrali impropri
Salve a tutti, vorrei concentrare l'attenzione sui seguenti integrali impropri:
1) $int_(0)^(1) 1/(|lnx|^a)dx$ con $ainRR$
2)$int_(2)^(+oo) 1/(x^a(lnx)^b)dx$ con $a,binRR$
3)$int_(0)^(+oo) x^n e^(-cx)dx$ con $ninZZ, cinRR$
4)$int_(0)^(+oo) sinx/xdx$
La mia difficoltà non è tanto nel discutere la convergenza degli integrali, ma sta proprio nel calcolarli.
P.S. Per quanto riguarda l'ultimo integrale si tenga presente che sto seguendo Analisi I.
Grazie in anticipo
1) $int_(0)^(1) 1/(|lnx|^a)dx$ con $ainRR$
2)$int_(2)^(+oo) 1/(x^a(lnx)^b)dx$ con $a,binRR$
3)$int_(0)^(+oo) x^n e^(-cx)dx$ con $ninZZ, cinRR$
4)$int_(0)^(+oo) sinx/xdx$
La mia difficoltà non è tanto nel discutere la convergenza degli integrali, ma sta proprio nel calcolarli.
P.S. Per quanto riguarda l'ultimo integrale si tenga presente che sto seguendo Analisi I.
Grazie in anticipo
Risposte
io per gli integrali impropri di solito faccio un ragionamento del genere.. se l'intervallo di integrazione è limitato, guardo i punti dove la funzione è infinita (ovviamente all'interno di tale intervallo, di solito sono gli estremi), dove quindi c'è un potenziale pericolo di non integrabilità, per poi confrontare con funzioni note..
se invece l'intervallo di integrazione è infinito, perché sia convergente, l'integranda deve andare a zero con una velocità "sufficiente"..
se invece devi calcolare proprio il valore dell'integrale non ti resta che integrare..ma penso che, almeno per i primi tre, tu debba solo stabilire la convergenza visto c'è un parametro..
quindi per esempio, il primo..il problema è in $x=1$ perché l'integranda va a infinito..bisogna stabilire se ci va abbastanza velocemente da avere un'area sottesa finita o infinita..lo confronti perciò con $1/x^a$ perché......
se invece l'intervallo di integrazione è infinito, perché sia convergente, l'integranda deve andare a zero con una velocità "sufficiente"..
se invece devi calcolare proprio il valore dell'integrale non ti resta che integrare..ma penso che, almeno per i primi tre, tu debba solo stabilire la convergenza visto c'è un parametro..
quindi per esempio, il primo..il problema è in $x=1$ perché l'integranda va a infinito..bisogna stabilire se ci va abbastanza velocemente da avere un'area sottesa finita o infinita..lo confronti perciò con $1/x^a$ perché......
"pieerr":
se invece devi calcolare proprio il valore dell'integrale non ti resta che integrare..ma penso che, almeno per i primi tre, tu debba solo stabilire la convergenza visto c'è un parametro..
Be, la consegna dice di studiarne la convergenza, ma di solito io faccio il limite dell'indefinito per vedere l'andamento; poi il parametro e solo una costante perchè la variabile del limite e uno degli estremi di integrazione.
Comunque tu dici che di questi non si deve calcolare l'indefinito, ma solo "guardare l'andamento"?
Be, la consegna dice di studiarne la convergenza
Ti sei risposto da solo..
anche perchè spesso gli integrali sono tropo difficili da calcolare, anzi spesso si ricorda agli studenti: non si tenti di integrare..
come appunto l' ultimo che non è un integrale elementare, cioè risolvibile con metodi standard..
esatto il limite dell'indefinito lo fai se sai calcolarlo!! spesso non si può...come ora..e quindi si procede con il confronto..
"pieerr":
esatto il limite dell'indefinito lo fai se sai calcolarlo!! spesso non si può...come ora..e quindi si procede con il confronto..
Benissimo...anche io ero arrivato alla conclusione del confronto anche perchè molto spesso come gia avete detto voi è difficile trovare l'integrale indefinito...
Quindi...il problema che si pone legico e che mi pongo anche io è: come si agisce con il confronto?! Sono dei criteri?! Devo confrontarlo con delle funzioni note?! Se si, quali nel caso degli integrali sopra elenacati?!
Si, ci sono dei criteri, e si usano confronti con funzioni note. Ma il tutto è un pò lungo da spiegare, quindi comincia con il leggere questo..
http://www.mat.uniroma2.it/~rapagnet/pdf/esercizi8.pdf
http://www.mat.uniroma2.it/~rapagnet/pdf/esercizi8.pdf
in linea di principio il confronto integrale è molto simile al confronto per le serie..quindi maggioriamo la funzione integranda con funzioni che nell'intervallo di integrazione convergono oppure minoriamo con funzioni divergenti...
il teorema è il seguente:
dato $f(x) leq g(x), AA x in [a,b]$ f,g sono funzioni integrabili in $[a,b]$ allora
$ int_(a)^(b) f(x) leq int_(a)^(b) g(x) $
oppure se vogliamo usare il confronto asintotico $ int_(a)^(b) f(x)$ e $int_(a)^(b) g(x) $ hanno lo stesso carattere se $f(x) sim g(x)$ e
per $x->m$ si dice $ f(x) sim g(x) hArr lim_(x -> m) f(x)/g(x)=1 $
capito??
____
ops..non avevo visto il post di Stefano..meglio se guardate lì perché di sicuro è più attendibile..
il teorema è il seguente:
dato $f(x) leq g(x), AA x in [a,b]$ f,g sono funzioni integrabili in $[a,b]$ allora
$ int_(a)^(b) f(x) leq int_(a)^(b) g(x) $
oppure se vogliamo usare il confronto asintotico $ int_(a)^(b) f(x)$ e $int_(a)^(b) g(x) $ hanno lo stesso carattere se $f(x) sim g(x)$ e
per $x->m$ si dice $ f(x) sim g(x) hArr lim_(x -> m) f(x)/g(x)=1 $
capito??
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ops..non avevo visto il post di Stefano..meglio se guardate lì perché di sicuro è più attendibile..
Si si, il metodo è chiaro, ma sei sicuro che il primo integrale vada confrontato con $1/(x^a)$?? 
Per quanto mi risulta $int_(0)^(1) 1/(|lnx|^a)dx$ e $1/(x^a)$ nell'intervallo $[0,1)$ hanno comportamento diverso, quindi non sono asintotiche e neanche confrontabili...
Per quanto mi risulta $int_(0)^(1) 1/(|lnx|^a)dx$ e $1/(x^a)$ nell'intervallo $[0,1)$ hanno comportamento diverso, quindi non sono asintotiche e neanche confrontabili...
ma è $0->1$ o $0->+oo$??
comunque sia in 1 l'integranda va a $+oo$ con una certa velocità..prova a fare la sostituzione $x=t+1$ (cambiano anche gli estremi di integrazione...)
e il problema che prima era in $x=1$ ora è in $0$...
comunque sia in 1 l'integranda va a $+oo$ con una certa velocità..prova a fare la sostituzione $x=t+1$ (cambiano anche gli estremi di integrazione...)
e il problema che prima era in $x=1$ ora è in $0$...
L'intervallo di integrazione è $[0,1)$ (intervento precedente modificato)
Cmq se ho capito bene dici si sostituire $x=t+1$ (l'intervallo diventa $[1,2)$), e poi confrontarlo con cosa?
Cmq se ho capito bene dici si sostituire $x=t+1$ (l'intervallo diventa $[1,2)$), e poi confrontarlo con cosa?
no l'intervallo diventa $[-1,0)$ perché per $x->0$ ho $0=t+1 -> t=-1$ (ugualmente per l'altro..)
poi hai mai visto il limite notevole $ lim_(x -> 0) ln(x+1)/x=1 $?? prova a pensarci..
poi hai mai visto il limite notevole $ lim_(x -> 0) ln(x+1)/x=1 $?? prova a pensarci..
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