Integrali impropri

[mazzy89-votailprof]

Buon pomeriggio a tutti voi. Dati questi due limiti:

$lim_(x to +oo) int_0^x (sqrt(t^2+|t|)-t)dt$

$lim_(x to -oo) int_0^x (sqrt(t^2+|t|)-t)dt$

questi due limiti corrispondo alla risoluzione di due integrali impropri rispettivamente:

$int_0^(+oo) (sqrt(t^2+|t|)-t)dt$

$int_0^(-oo) (sqrt(t^2+|t|)-t)dt$
Il mio dubbio nella risoluzione è il seguente: quando si incontrano degli integrali impropri occorre sempre ove possibile chiaramente risolverli e quindi trovare la primitiva oppure applicare qualche teorema e/o criterio?
Nello specifico caso che ho portato in esame gli integrali sono integrabili elementarmente quindi posso trovare la primitiva. Mi conviene oppure posso prendere un'altra "strada"?

[piero_1]

Se ti viene richiesto di verificare la convergenza o meno dell'integrale, puoi utilizzare il teorema del confronto. Per sapere a quale valore converge, dovrai calcolarti l'integrale.

[mazzy89-votailprof]

"piero_":Se ti viene richiesto di verificare la convergenza o meno dell'integrale, puoi utilizzare il teorema del confronto. Per sapere a quale valore converge, dovrai calcolarti l'integrale.

ma nel primo limite il valore assoluto può benissimo andar via giusto?dato che l'integrale è compreso in un'area positiva

[piero_1]

$ int(sqrt(t^2+t))dt- int(t)dt$

[FainaGimmi]

Nel secondo limite, penso che l'integrale debba andare da $x$ a $0$, e non viceversa, come invece hai scritto, no?

[mazzy89-votailprof]

"FainaGimmi":Nel secondo limite, penso che l'integrale debba andare da $x$ a $0$, e non viceversa, come invece hai scritto, no?

il secondo integrale diventa:

$int_0^(-oo) (sqrt(t^2+|t|)-t)dt=-int_(-oo)^0 (sqrt(t^2-t)-t)dt$

[piero_1]

$ int(sqrt(t^2+t))dt- int(t)dt$
$ int(sqrt((t+1/2)^2-(1/2)^2))dt- int(t)dt$
occupiamoci di questo
$ int(sqrt((t+1/2)^2-(1/2)^2))dt$
con la sostituzione
$t+1/2=y$ abbiamo $dt=dy$
e l'integrale diventa
$ intsqrt((y^2-(1/2)^2))dt$
che si può risolvere per parti
[...]
a meno di una costante abbiamo:
$ intsqrt((y^2-(1/2)^2))dt=y/2sqrt((y^2-1/4))-1/8ln(y+sqrt((y^2-1/4)))$