Integrali impropri
vorrei, se possibile, che mi guidaste nella risoluzione di un paio di integrali impropri...
comincio con il primo
$\int_{1}^{\infty} (root(3)(x)*cos(pi/x))/(x^2+7) dx$
allora, io conosco il procedimento nel senso che alla fine devo fare il limite ecc però ho difficoltà proprio a trovare la primitiva, ho provato con tutti mezzi tipo sostituzione e integrazione per parti ma niente non ne vengo fuori.
Ho pensato anche di utilizzare un qualche criterio tipo del confronto con qualche integrale più semplice (ovviamente considerando il valore assoluto di questo integrale visto che questo integrale non è per forza positivo essendoci il coseno e la radice terza)...ma davvero non so dove sbattere la testa...tipo posso considerare tale funzione in valore assoluto minore o uguale di
$2/(x^2+7)$
e studiare quindi la convergenza di questo secondo o significa osare troppo???
potreste darmi un input???
comincio con il primo
$\int_{1}^{\infty} (root(3)(x)*cos(pi/x))/(x^2+7) dx$
allora, io conosco il procedimento nel senso che alla fine devo fare il limite ecc però ho difficoltà proprio a trovare la primitiva, ho provato con tutti mezzi tipo sostituzione e integrazione per parti ma niente non ne vengo fuori.
Ho pensato anche di utilizzare un qualche criterio tipo del confronto con qualche integrale più semplice (ovviamente considerando il valore assoluto di questo integrale visto che questo integrale non è per forza positivo essendoci il coseno e la radice terza)...ma davvero non so dove sbattere la testa...tipo posso considerare tale funzione in valore assoluto minore o uguale di
$2/(x^2+7)$
e studiare quindi la convergenza di questo secondo o significa osare troppo???
potreste darmi un input???
Risposte
Scusa white05, ma come fai a limitare il numeratore con $2$?
Mi pare un po' troppo pretenzioso, dato che $|root(3)(x)*cos (pi/x)|$ non è limitata superiormente intorno a $+oo$ (prendi, ad esempio, la successione di termine generale $x_n:=n^3*pi$: con tale scelta trovi $|root(3)(x_n)*cos (pi/x_n)|=\root(3)(pi)*n*cos(1/n^3) \to +oo$ quando $n\to +oo$).
Mi pare un po' troppo pretenzioso, dato che $|root(3)(x)*cos (pi/x)|$ non è limitata superiormente intorno a $+oo$ (prendi, ad esempio, la successione di termine generale $x_n:=n^3*pi$: con tale scelta trovi $|root(3)(x_n)*cos (pi/x_n)|=\root(3)(pi)*n*cos(1/n^3) \to +oo$ quando $n\to +oo$).
infatti sospettavo fosse troppo azzardato...speravo di poter usare il confronto o il confronto asintotico, quindi come si potrebbe procedere?
Metti in evidenza al denominatore e semplifica: in questo modo riesci a determinare subito l'ordine d'infinitesimo dell'integrando in $+oo$.
allora vediamo se ho capito...se scrivo delle cavolate chiedo scusa ma è un argomento del tutto nuovo per me... 
seguendo il tuo consiglio verrebbe semplificando...
$cos(pi/x)/(x^(5/3)*(1+(7/x^2)))$
ora se faccio per il confronto asintotico il limite di f(x)/g(x) scegliendo come g(x)= $1/x^(5/3)$ tale limite per x->inf è uguale ad 1 quindi le due funzioni hanno lo stesso comportamento a +inf
e poiché la g(x) converge anche la f(x) converge...
ho dato i numeri o è giusto???
seguendo il tuo consiglio verrebbe semplificando...
$cos(pi/x)/(x^(5/3)*(1+(7/x^2)))$
ora se faccio per il confronto asintotico il limite di f(x)/g(x) scegliendo come g(x)= $1/x^(5/3)$ tale limite per x->inf è uguale ad 1 quindi le due funzioni hanno lo stesso comportamento a +inf
e poiché la g(x) converge anche la f(x) converge...
ho dato i numeri o è giusto???
Esatto, bravo! 
Solo un piccolo appunto: non ti interessa tanto che sia $g$ ad essere convergente, ma il suo integrale improprio.
Solo un piccolo appunto: non ti interessa tanto che sia $g$ ad essere convergente, ma il suo integrale improprio.
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