Integrali impropri
Qualcuno mi può spiegare qual'è il criterio per cui un integrale si può definire improprio?
Es:
Ho il seguente integrale improprio da 0 a +infinito int(arctg(x^a/x+1)/1+x^3 + ln(x+1)/(x+2)^3) dx
Devo dire per quali a reali l'integrale è convergente.
Nelle soluzioni c'è scritto che se a>=0 allora l'integrale è improprio per x che tende a infinito.
Se a<0 allora l'integrale è improprio anche in 0. Perchè?
Es:
Ho il seguente integrale improprio da 0 a +infinito int(arctg(x^a/x+1)/1+x^3 + ln(x+1)/(x+2)^3) dx
Devo dire per quali a reali l'integrale è convergente.
Nelle soluzioni c'è scritto che se a>=0 allora l'integrale è improprio per x che tende a infinito.
Se a<0 allora l'integrale è improprio anche in 0. Perchè?
Risposte
$ int_0^{+oo}(arctg(x^a/(x+1))/(1+x^3 ) + ln(x+1)/(x+2)^3) dx$
Per una ragione molto banale: sei capace di calcolare 1/0?
Per una ragione molto banale: sei capace di calcolare 1/0?
"amel":
$ int_0^{+oo}(arctg(x^a/(x+1))/(1+x^3 ) + ln(x+1)/(x+2)^3) dx$
Per una ragione molto banale: sei capace di calcolare 1/0?
Il fatto è che non capisco perchè solo per a<0 l'integrale è improprio per x tendente a 0
Perchè l'integrale è certamente improprio quando una funzione non è definita in un punto che "appare" nell'integrale (pur essendo definita in ogni punto intorno ad esso).
Se non ti è chiaro cercherò di essere più preciso
non è chiaro il caso di a<0, poichè mi viene sempre un valore finito il lim per x tendente a zero! Stessa cosa per x tendente a infinito...cioè a me viene improprio solo per x tendente a infinito quando a>=0
Un attimo stiamo confondendo mi pare (o forse confondevo io bah...) il termine "convergente" con "improprio".
Un integrale improprio, detto in soldoni, è un integrale "sui generis": cioè almeno uno dei due estremi di integrazione è un valore non finito o almeno uno dei due estremi di integrazione presenta un punto nel quale la funzione non è definita (o accadono entrambe le cose). In questo senso è improprio: non è della forma $int_a^b f(x) dx$, ove $f:[a,b]->RR$ è integrabile su $[a,b]$.
Il fatto che sia improprio, non significa necessariamente che un integrale non converga, cioè che un integrale non abbia un valore finito, altrimenti non avrebbe molto sendo studiare gli integrali impropri...
Mi pare di aver capito che tu chieda: nell'esercizio mi sembra che per $a<0$ $arctg(x^a/(x+1))$ abbia limite finito per x che va a 0 e quindi posso estendere tale funzione per continuità. Il fatto è che se tu fai il limite destro e quello sinistro ti accorgi che non è così.
Chissà se ho capito bene la tua domanda ora? (e se non ho scritto castronerie?)
Un integrale improprio, detto in soldoni, è un integrale "sui generis": cioè almeno uno dei due estremi di integrazione è un valore non finito o almeno uno dei due estremi di integrazione presenta un punto nel quale la funzione non è definita (o accadono entrambe le cose). In questo senso è improprio: non è della forma $int_a^b f(x) dx$, ove $f:[a,b]->RR$ è integrabile su $[a,b]$.
Il fatto che sia improprio, non significa necessariamente che un integrale non converga, cioè che un integrale non abbia un valore finito, altrimenti non avrebbe molto sendo studiare gli integrali impropri...
Mi pare di aver capito che tu chieda: nell'esercizio mi sembra che per $a<0$ $arctg(x^a/(x+1))$ abbia limite finito per x che va a 0 e quindi posso estendere tale funzione per continuità. Il fatto è che se tu fai il limite destro e quello sinistro ti accorgi che non è così.
Chissà se ho capito bene la tua domanda ora? (e se non ho scritto castronerie?)
"amel":
Un integrale improprio, detto in soldoni, è un integrale "sui generis": cioè almeno uno dei due estremi di integrazione è un valore non finito o almeno uno dei due estremi di integrazione presenta un punto nel quale la funzione non è definita (o accadono entrambe le cose). In questo senso è improprio: non è della forma $int_a^b f(x) dx$, ove $f:[a,b]->RR$ è integrabile su $[a,b]$.
Alla definizione proposta da Amel apporterei una piccola variazione:
Un integrale esteso ad un intervallo $(a,b)$ si dice improprio se succedono uno od entrambi i seguenti fatti: 1) in $[a,b]$ cade almeno un punto di discontinuità non eliminabile della funzione integranda (nota che ho preso in considerazione anche le discontinuità negli estremi dell'intervallo!) oppure 2) se uno od entrambi gli estremi d'integrazione sono infiniti (cioè $a=-oo$ oppure $b=+oo$).
Giustissimo, volevo proprio intedere quello, il fatto è che sono un po' stanchino ultimamente e che non avevo molta voglia di essere formale (i teoremi mi stanno convertendo in zuppa... cfr. firma di Gugo ).
Solo aggiungerei un'osservazione, che già tempo fa era stata mi pare ampiamnte discussa (non da me); non ricordo più dove sia quel thread.
Quando parliamo di discontinuità eliminabile, possiamo anche intendere che la funzione non è definita in quel punto per così dire di discontinuità, ma intorno ad esso e inoltre che il limite verso quel punto esiste finito (così si può estendere per continuità)...
OK, sono stato pignolo e allo stesso tempo poco padrone della lingua italiana... posso anche ricevere le uova ora.
).Solo aggiungerei un'osservazione, che già tempo fa era stata mi pare ampiamnte discussa (non da me); non ricordo più dove sia quel thread.
Quando parliamo di discontinuità eliminabile, possiamo anche intendere che la funzione non è definita in quel punto per così dire di discontinuità, ma intorno ad esso e inoltre che il limite verso quel punto esiste finito (così si può estendere per continuità)...
OK, sono stato pignolo e allo stesso tempo poco padrone della lingua italiana... posso anche ricevere le uova ora.
Lo provo a risolvere cosi magari mi dite se i miei ragionamenti sono corretti e posto la soluzione:
Io risolverei cosi:
ln(x+1)/(x+2)^3 vale zero sia per x tendente a infinito che per x tendente a zero, quindi è convergente (siamo daccordo?).
per quanto riguarda arctg(x^a/x+1)/1+x^3 ho i seguenti casi:
-con x tendente a infinito:
se a>1 lim = arctg(infinito)/infinito = (pgreco/2)/infinito = 0 (giusto?)
se a=1 lim = arctg(1)/infinito = (pgreco/4)/infinito = 0
se 0
se a<0 lim arctg(0)/infinito = 0
-con x tendente a zero:
se a>1 lim = arctg(0)/1 = 0
se a=1 lim arctg(1/infinito)/1= 0
se 0
se a<0 lim = arctg(infinito) = pgreco /2
quindi mi viene che per x tendente a infinito l'integrale è convergente per ogni a reale, e lo stesso mi viene per x tendente a zero.
nella soluzione ci sono i seguenti ragionamenti che non capisco:
- Se a>=0 l'integrale è improprio solo (?) per x tendente a infinito (perchè per x tendente a zero no?) . Se a<0 allora l'integrale è improprio anche in 0.
Successivamente dimostra grazie al teorema del confronto che l'integrale con il logaritmo è convergente (va lo stesso bene come ho fatto io?)
per quanto riguarda l'arcotg fa il seguente ragionamento:
per x>0 vale la disuguaglianza 0<=(arctg(x^a/x+1)/1+x^3)<= (pgreco/2(1+x^3)) e quindi per il teorema del confronto l'integrale a infinito è convergente. (come ho fatto io è giusto?)
Se x=0 con a<0 (?) il limite per x tendente a zero da destra di arctg(x^a/x+1)/1+x^3 = pgreco/2 , quindi l'integrale è convergente anche per x=0.
qualcuno mi spiega cosa sbaglio? Grazie!
Io risolverei cosi:
ln(x+1)/(x+2)^3 vale zero sia per x tendente a infinito che per x tendente a zero, quindi è convergente (siamo daccordo?).
per quanto riguarda arctg(x^a/x+1)/1+x^3 ho i seguenti casi:
-con x tendente a infinito:
se a>1 lim = arctg(infinito)/infinito = (pgreco/2)/infinito = 0 (giusto?)
se a=1 lim = arctg(1)/infinito = (pgreco/4)/infinito = 0
se 0
se a<0 lim arctg(0)/infinito = 0
-con x tendente a zero:
se a>1 lim = arctg(0)/1 = 0
se a=1 lim arctg(1/infinito)/1= 0
se 0
se a<0 lim = arctg(infinito) = pgreco /2
quindi mi viene che per x tendente a infinito l'integrale è convergente per ogni a reale, e lo stesso mi viene per x tendente a zero.
nella soluzione ci sono i seguenti ragionamenti che non capisco:
- Se a>=0 l'integrale è improprio solo (?) per x tendente a infinito (perchè per x tendente a zero no?) . Se a<0 allora l'integrale è improprio anche in 0.
Successivamente dimostra grazie al teorema del confronto che l'integrale con il logaritmo è convergente (va lo stesso bene come ho fatto io?)
per quanto riguarda l'arcotg fa il seguente ragionamento:
per x>0 vale la disuguaglianza 0<=(arctg(x^a/x+1)/1+x^3)<= (pgreco/2(1+x^3)) e quindi per il teorema del confronto l'integrale a infinito è convergente. (come ho fatto io è giusto?)
Se x=0 con a<0 (?) il limite per x tendente a zero da destra di arctg(x^a/x+1)/1+x^3 = pgreco/2 , quindi l'integrale è convergente anche per x=0.
qualcuno mi spiega cosa sbaglio? Grazie!
Scusate per come l'ho scritto!
Mi spiace che non riesco a farmi capire 
non ti posso biasimare purtroppo...
Però intanto ti faccio notare che tu hai impostato la discussione sul limite della funzione integranda, mentre l'integrale è un'altra cosa.
Ad esempio $int_1^(+oo) 1/x dx$ non converge, mentre $lim_{x->+oo}1/x=0$
non ti posso biasimare purtroppo...Però intanto ti faccio notare che tu hai impostato la discussione sul limite della funzione integranda, mentre l'integrale è un'altra cosa.
Ad esempio $int_1^(+oo) 1/x dx$ non converge, mentre $lim_{x->+oo}1/x=0$
"amel":
Mi spiace che non riesco a farmi capire
Però intanto ti faccio notare che tu hai impostato la discussione sul limite della funzione integranda, mentre l'integrale è un'altra cosa.
Ad esempio $int_1^(+oo) 1/x dx$ non converge, mentre $lim_{x->+oo}1/x=0$
come lo svolgeresti tu quel benedetto integrale?
(Ps: se devo discutere la convergenza non è quindi detto che debba calcolare il limite della funzione integranda?)
"Jazz_lover":
Ho il seguente integrale improprio da 0 a +infinito int(arctg(x^a/x+1)/1+x^3 + ln(x+1)/(x+2)^3) dx
Devo dire per quali a reali l'integrale è convergente.
"amel":
$ int_0^{+oo}(arctg(x^a/(x+1))/(1+x^3 ) + ln(x+1)/(x+2)^3) dx$
"Jazz_lover":
come lo svolgeresti tu quel benedetto integrale?
(Ps: se devo discutere la convergenza non è quindi detto che debba calcolare il limite della funzione integranda?)
Calma e sangue freddo!
Innanzitutto studiamoci un po' l'integrando: esso è certamente definito in $]0,+oo[$ (anche se per valori particolari di $a$, ad esempio, $a in ZZ^+$, $a in ZZ^-$, etc... si può "allargare" un po' il suo insieme di definizione) ed ivi continuo; d'altra parte l'integrando è certamente positivo in $]0,+oo[$, come facilmente si verifica, ed convergente in $0$ per ogni scelta di $a$.
Ne consegue che l'integrando è certamente dotato di integrale di Riemann in $]0,+oo[$, il quale però potrebbe risultare infinito a causa dell'illimitatezza dell'intervallo d'integrazione: si pone così naturalmente il problema di stabilire per quali valori del parametro $a$ l'integrale improprio assegnato è finito ossia, come si dice in gergo, il problema della convergenza dell'integrale improprio al variare del parametro $a$.
Vista la positività della funzione integranda, studiare la convergenza dell'integrale improprio assegnato equivale a studiarne la convergenza assoluta: ciò si può fare studiando la sommabilità dell'integrando, col metodo dell'ordine d'infinitesimo $+oo$, al variare del parametro $a$.
Comunque si scelga $a in RR$, la funzione integranda si può prolungare in maniera continua su $0$ ponendo:
$f(0)=lim_(xto 0^+) arctg(x^a/(x+1))/(1+x^3 ) + ln(x+1)/(x+2)^3=\{(0, " se " a>0), (pi/4, " se " a=0), (pi/2, " se " a<0):}$
e per un noto risultato sull'integrale di Riemann, l'integrale di $f$ coincide con l'integrale di questo suo prolungamento continuo.
La funzione integranda è evidentemente infinitesima all'infinito, ma ciò non ci garantisce che la funzione risulti sommabile in $[0,+oo[$: per stabilire la sommabilità di $f$ dobbiamo riuscire a provare che essa è infinitesima in $+oo$ d'ordine non minore di un $alpha>1$; poichè $f(x)=arctg(x^a/(x+1))/(1+x^3 ) + ln(x+1)/(x+2)^3$, per stabilire l'ordine di infinitesimo di $f$ in $+oo$ occorre e basta determinare gli ordini d'infinitesimo degli addendi di cui essa è somma.
1) L'addendo $ln(x+1)/(x+2)^3$ è un infinitesimo non dotato di ordine: infatti è d'ordine inferiore a $3$ e però è d'ordine superiore ad ogni $beta<3$; in particolare è d'ordine superiore a $alpha_1=2$.
2) L'addendo $arctg(x^a/(x+1))/(1+x^3 )$ è un infinitesimo dotato di ordine: infatti, se $a ge 1$, allora esso è d'ordine uguale a $3$, mentre se $a< 1$ si ha:
$lim_(x to +oo)arctg(x^a/(x+1))/(1+x^3 )=lim_(xto +oo) arctg(x^a/(x+1))/(x^a/(x+1))*(x^a/(x+1))/(1+x^3 )=lim_(yto 0^+)(arctgy)/(y) *lim_(xto +oo) x^a/((x+1)*(1+x^3))=1*lim_(xto +oo) x^a/((x+1)*(1+x^3))$
e da ciò segue che esso è d'ordine $4-a$ ($>3$); in ogni caso, quindi, questo addendo è d'ordine non inferiore ad $alpha_2=3$.
Ne traiamo che, nel complesso, $f$ non è un infinitesimo dotato d'ordine in $+oo$ e però è certamente d'ordine superiore al $min{alpha_1,alpha_2}=2>1$: da ciò la sommabilità di $f$ in $]0,+oo[$ e la convergenza dell'integrale improprio assegnato.
Spero di non aver fatto errori... nel caso correggetemi pure!
P.S.: Ovviamente tutti gli infinitesimi si intendono rapportati all'infinitesimo campione standard $1/x$.
C'è qualcosa che non mi quadra, sull'estensione per continuità di $f$ per alcuni valori di $a<0$, ma non è per essere pignolo, giuro...
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