Integrali impropri
Determinare per quali valori di $alpha$ numero reale è convergente l'integrale improprio, calcolato nell'intervallo $[2; +oo[$, $1/(sqrt(x^alpha*(x-2)))$.
Mi servirebbe sapere il procedimento generale.
Grazie.
Fabio
Mi servirebbe sapere il procedimento generale.
Grazie.
Fabio
Risposte
Tu a scuola fai studi di convergenze?
O sei all'Università? Scusami, non ricordo bene...
Comunque, devi determinare $alpha$ in modo
che la funzione sia un infinito di ordine $<1$ per $x->2^+$
e un infinitesimo di ordine $>1$ per $x->+oo$.
O sei all'Università? Scusami, non ricordo bene...
Comunque, devi determinare $alpha$ in modo
che la funzione sia un infinito di ordine $<1$ per $x->2^+$
e un infinitesimo di ordine $>1$ per $x->+oo$.
Sì li sto facendo per la scuola, sono in quinto.
Potresti spiegarmelo un pochino più approfonditamente, se non disturbo?
Grazie
Fabio
Potresti spiegarmelo un pochino più approfonditamente, se non disturbo?
Grazie
Fabio
Vediamo l'integrabilità in un intorno destro di 2.
Chiamerò $f(x)$ la funzione assegnata, e scriverò
$a$ al posto di $alpha$ per comodità.
1) Sia $a=0$. Allora $f(x)=1/sqrt(x-2)$ risulta
integrabile in un intorno destro di 2, infatti
$1/sqrt(x-2)=1/(x-2)^(1/2)$ è un infinito di ordine
$1/2 < 1$ per $x->2^+$.
2) Sia $a>0$. Allora $f(x)=1/(x^(a/2)(x-2)^(1/2))
e per $x->2^+$, $x^(a/2)$ tende a una costante,
quindi questo termine non influisce sull'ordine di infinito di $f$ per $x->2^+$,
dunque $f$ risulta sempre integrabile.
3) Sia $a<0$. Discorso identico al caso $a>0$. Si conclude allora che
$f$ risulta integrabile in un intorno destro di 2 per ogni $a in RR$.
Chiamerò $f(x)$ la funzione assegnata, e scriverò
$a$ al posto di $alpha$ per comodità.
1) Sia $a=0$. Allora $f(x)=1/sqrt(x-2)$ risulta
integrabile in un intorno destro di 2, infatti
$1/sqrt(x-2)=1/(x-2)^(1/2)$ è un infinito di ordine
$1/2 < 1$ per $x->2^+$.
2) Sia $a>0$. Allora $f(x)=1/(x^(a/2)(x-2)^(1/2))
e per $x->2^+$, $x^(a/2)$ tende a una costante,
quindi questo termine non influisce sull'ordine di infinito di $f$ per $x->2^+$,
dunque $f$ risulta sempre integrabile.
3) Sia $a<0$. Discorso identico al caso $a>0$. Si conclude allora che
$f$ risulta integrabile in un intorno destro di 2 per ogni $a in RR$.
Vediamo adesso il discorso a $+oo$.
1) Sia $a=0$. Allora $f$ non risulta integrabile
a $+oo$, infatti è un infinitesimo di ordine $1/2 < 1$ per $x->+oo$.
2) Sia $a!=0$. Anzitutto riscriviamo $f$.
$f(x)=1/(x^(a/2)(x-2)^(1/2))$, che per $x->+oo$
è asintotica a $g(x):=1/(x^(a/2+1/2))=1/(x^((a+1)/2))$.
Questa funzione dev'essere
- infinitesima
- infinitesima di ordine $>1$ per $x->+oo$;
quindi basterà imporre: $(a+1)/2 > 1$ (la seconda condizione,
l'essere infinitesima di ordine $>1$ è più forte
dell'essere semplicemente infinitesima, la cui traduzione
sarebbe stata porre $(a+1)/2 >0$). La diseguaglianza è vera
se e solo se $a > 1$.
Si vuole che la funzione sia integrabile in $(2,+oo)$. Abbiamo
visto che in un intorno destro di 2 è integrabile per ogni $a$,
mentre in un intorno di $+oo$ è integrabile se e solo se $a>1$.
Quindi possiamo concludere che:
$f$ risulta integrabile in $(2,+oo)$ se e solo se $a>1$.
1) Sia $a=0$. Allora $f$ non risulta integrabile
a $+oo$, infatti è un infinitesimo di ordine $1/2 < 1$ per $x->+oo$.
2) Sia $a!=0$. Anzitutto riscriviamo $f$.
$f(x)=1/(x^(a/2)(x-2)^(1/2))$, che per $x->+oo$
è asintotica a $g(x):=1/(x^(a/2+1/2))=1/(x^((a+1)/2))$.
Questa funzione dev'essere
- infinitesima
- infinitesima di ordine $>1$ per $x->+oo$;
quindi basterà imporre: $(a+1)/2 > 1$ (la seconda condizione,
l'essere infinitesima di ordine $>1$ è più forte
dell'essere semplicemente infinitesima, la cui traduzione
sarebbe stata porre $(a+1)/2 >0$). La diseguaglianza è vera
se e solo se $a > 1$.
Si vuole che la funzione sia integrabile in $(2,+oo)$. Abbiamo
visto che in un intorno destro di 2 è integrabile per ogni $a$,
mentre in un intorno di $+oo$ è integrabile se e solo se $a>1$.
Quindi possiamo concludere che:
$f$ risulta integrabile in $(2,+oo)$ se e solo se $a>1$.
"SaturnV":
Sì li sto facendo per la scuola, sono in quinto.
Beh, in quinto è il minimo... Ste cose o si fanno in quinto a scuola,
se hai un prof. bravissimo ed esigente, o non si fanno in nessun
altro anno (sempre a scuola mi riferisco)...
Mi meraviglio che a scuola vi facciano studiare le convergenze,
credo che nessun altro le faccia... Non le fanno a Ingegneria Informatica all'Università!
"fireball":
Non le fanno a Ingegneria Informatica all'Università!
Ehm... magari il mio professore è stato un'eccezione, però ce le ha fatte fare
Leggero OT:
Ma che scuola fai? Non le fa nessuno e non sono nel programma di quinta (almeno di solito e cmq non a novembre!).
Se il tuo insegnante sta insistendo su questi argomenti credo che si tratti di una classe fortunata dove tutti sono ad un ottimo livello, altrimenti sarebbe meglio marcasse la mano approfondendo il programma di analisi 1 che troverete al primo anno di universita' per rendere la vita piu' semplice a chi continua, invece di mettere troppa carne al fuoco, che ne pensate?
Ma che scuola fai? Non le fa nessuno e non sono nel programma di quinta (almeno di solito e cmq non a novembre!).
Se il tuo insegnante sta insistendo su questi argomenti credo che si tratti di una classe fortunata dove tutti sono ad un ottimo livello, altrimenti sarebbe meglio marcasse la mano approfondendo il programma di analisi 1 che troverete al primo anno di universita' per rendere la vita piu' semplice a chi continua, invece di mettere troppa carne al fuoco, che ne pensate?
E come faccio a stabilire se il seguente integrale improprio è convergente?
Integrale da 0 a $+oo$ di $(x^2+1)/(x^3+3)dx$
Dovrei utilizzare il teorema del confronto, presumo.
Grazie
Fabio
Integrale da 0 a $+oo$ di $(x^2+1)/(x^3+3)dx$
Dovrei utilizzare il teorema del confronto, presumo.
Grazie
Fabio
In $ x=0 $ non c'è alcun problema in quanto la funzione integranda è definita.
Quando $x rarr +oo$, la funzione integranda è asintotica a $ x^2/x^3 = 1/x $ .
L'integrale allora non converge perchè la funzione integranda dovrebbe essere un infinitesimo di ordine $ > 1 $ ; è invece un infinitesimo di ordine $1 $ ; a parole diciamo che la funzione non va a zero abbastanza rapidamente.
Quando $x rarr +oo$, la funzione integranda è asintotica a $ x^2/x^3 = 1/x $ .
L'integrale allora non converge perchè la funzione integranda dovrebbe essere un infinitesimo di ordine $ > 1 $ ; è invece un infinitesimo di ordine $1 $ ; a parole diciamo che la funzione non va a zero abbastanza rapidamente.
Il criterio del confronto conviene usarlo quando si
ha a che fare con logaritmi (infatti, possono venire
in aiuto disuguaglianze notevoli come
$logx<=x$ per ogni $x>0$, $0<=log(1+x)<=x$
per ogni $x>0$).
ha a che fare con logaritmi (infatti, possono venire
in aiuto disuguaglianze notevoli come
$logx<=x$ per ogni $x>0$, $0<=log(1+x)<=x$
per ogni $x>0$).
"Kroldar":
[quote="fireball"]Non le fanno a Ingegneria Informatica all'Università!
Ehm... magari il mio professore è stato un'eccezione, però ce le ha fatte fare
[/quote]Meglio così! ^^
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