Integrali impropri

[Quasar3.14]

$ \int_0^(1/2)\ 1/(xln^2x) dx = lim_(epsilon->0^+)\int_(0+epsilon)^(1/2) 1/(xln^2x) dx = lim_(epsilon->0^+) [-1/(lnx)]_(0+epsilon)^(1/2) = lim_(epsilon->0^+) [1/ln(2) - (-1/ln(0+epsilon))] = 1/ln(2) $$ \int_0^(1/2)\ 1/(xln^2x) dx = lim_(epsilon->0^+)\int_(0+epsilon)^(1/2) 1/(xln^2x) dx = lim_(epsilon->0^+) [-1/(lnx)]_(0+epsilon)^(1/2) = lim_(epsilon->0^+) [1/ln(2) - (-1/ln(0+epsilon))] = 1/ln(2) $Ciao a tutti,

potreste dirmi, per favore, se sto svolgendo bene questi esercizi?

1) $\int_2^(+infty)\ 1/(xlnx) dx$

La funzione $f(x)$ è continua nell'intervallo $[2, +infty)$

$\int 1/(xlnx) = int 1/(lnx) * 1/x dx = int 1/u du = ln(u) = ln(lnx) + C$
con $u=ln(x)$ e $du=1/x dx$

$\int_2^(+infty)\ 1/(xlnx) dx = lim_(t->+infty) \int_2^t 1/(xlnx) = lim_(t->+infty) [ln(lnx)]_2^t = lim_(t->+infty) [ln(ln(t)) - ln(ln(2))]$

L'integrale diverge.

2) $\int_0^(1/2)\ 1/(xln^2x) dx$

$\int 1/(xln^2x) dx = int 1/ln^2z * 1/x dx = int 1/u^2 du = int u^n du = u^(n+1)/(n+1) = -1/(ln(x) +C$

Con $u = lnx$, $du = 1/x dx$ e $n= -2$


Integrale improprio di secondo tipo, per calcolare il valore dell'integrale, integro la funzione in un intervallo di completa continuità.

$\int_0^(1/2)\ 1/(xln^2x) dx = lim_(epsilon->0^+)\int_(0+epsilon)^(1/2) 1/(xln^2x) dx = lim_(epsilon->0^+) [-1/(lnx)]_(0+epsilon)^(1/2) =
lim_(epsilon->0^+) [1/ln(2) - (-1/ln(0+epsilon))] =$

Risultato $ 1/(ln(2)) $

[pilloeffe]

Ciao Quasar3.14,

I risultati sono corretti, ma nel 2) la costante $C$ non va a denominatore, ma sommata a $- 1/ln(x) $:

$- 1/ln(x) + C $

[Quasar3.14]

Grazie pilloeffe!

[pilloeffe]

Prego!

Tieni presente che non è sempre domenica, cioè non è detto che sia sempre possibile risolvere l'integrale indefinito corrispondente all'integrale improprio in esame: in generale per risolvere gli integrali impropri è necessario ricorrere alle stime asintotiche, ma può anche essere che tu sia fortunato e non abbia occasione di incontrarne nel corso dei tuoi studi...