Integrali impropri
Volevo sapere come si faceva a determinare se questo integrale converge senza calcolarlo,perche sono alle prime armi:
$ int_(1)^(2)4/(4x-2x^2) dx $
$ int_(1)^(2)4/(4x-2x^2) dx $
Risposte
Innanzitutto scriviamo l'espressione in questo modo:
$$ \int_1^2 \frac{4}{4x-2x^2} dx = 2 \int_1^2 \frac{1}{x(2-x)} dx .$$
Chiaramente l'integrale è improprio per la singolarità in $x=2$. In un intorno di $2$ la funzione integranda si comporta come la funzione $\frac{1}{x-2}$ che chiaramente non è integrabile in senso improprio in base ai criteri di convergenza che conoscerai.
$$ \int_1^2 \frac{4}{4x-2x^2} dx = 2 \int_1^2 \frac{1}{x(2-x)} dx .$$
Chiaramente l'integrale è improprio per la singolarità in $x=2$. In un intorno di $2$ la funzione integranda si comporta come la funzione $\frac{1}{x-2}$ che chiaramente non è integrabile in senso improprio in base ai criteri di convergenza che conoscerai.
Mi potresti spiegare tutti i passaggi perchè ancora non li so fare e vorrei cercare di capire. Grazie in anticipo
Se fai il limite del rapporto tra le funzioni
$\frac{1}{x(2-x)}$ e $\frac{1}{x-2}$ per $x \to 2$ ti verrà $-\frac{1}{2}$. Questo significa che in un intorno di $2$ le due funzioni si comportano allo stesso modo, essendo il limite un valore finito.
Quindi, sapendo che
$\int_1^2 \frac{1}{x-2} dx = -\infty $
allora anche il tuo integrale di partenza diverge.
$\frac{1}{x(2-x)}$ e $\frac{1}{x-2}$ per $x \to 2$ ti verrà $-\frac{1}{2}$. Questo significa che in un intorno di $2$ le due funzioni si comportano allo stesso modo, essendo il limite un valore finito.
Quindi, sapendo che
$\int_1^2 \frac{1}{x-2} dx = -\infty $
allora anche il tuo integrale di partenza diverge.