Integrali impropri
Integrali impropri: considerando il seguente esempio
avrei due domande.
Prima domanda
Perché se $\alpha < 0 $ l'integrale non è improprio? Il libro da la seguente spiegazione e definizione preliminare per quanto riguarda gli integrali impropri
Seconda domanda
per quanto riguarda $0 < \alpha < 1$, perché la primitiva è [tex]\frac{1}{1-\alpha}x^{1-\alpha}[/tex] ? Non capisco la differenza con il caso $\alpha > 1$
avrei due domande.
Prima domanda
Perché se $\alpha < 0 $ l'integrale non è improprio? Il libro da la seguente spiegazione e definizione preliminare per quanto riguarda gli integrali impropri
Fino ad ora abbiamo assunto che (i) l’intervallo di integrazione sia limitato (ii) la funzione
integranda sia limitata nell’intervallo di integrazione . Se anche una di queste due condizioni
non è rispettata, non si può porre il problema dell’integrazione. Questa è però una condizione
troppo restrittiva, perché nelle applicazioni è spesso necessario calcolare integrali di funzioni
illimitate, o estesi ad intervalli illimitati. In questo caso si può definire l’integrale mediante
una procedura di limite, ottenendo quelli che vengono chiamati integrali impropri.
Seconda domanda
per quanto riguarda $0 < \alpha < 1$, perché la primitiva è [tex]\frac{1}{1-\alpha}x^{1-\alpha}[/tex] ? Non capisco la differenza con il caso $\alpha > 1$
Risposte
Prima risposta: per $a \leq 0$ la funzione è limitata in un intervallo limitato e come dice giustamente il libro non ci si pongono problemi di integrazione.
Seconda risposta: Le primitive sono le stesse scritte in modo diverso.
Seconda risposta: Le primitive sono le stesse scritte in modo diverso.
Ciao
incomincio a rispondere alla prima domanda
se $alpha < 0$ puoi sostituire $alpha$ con $-alpha$
pertanto
$int_0^1 1/x^(-alpha) dx = int_0^1 x^alpha dx$
dove l'estremo di integrazione pari a $0$ è perfettamente accettabile, quindi l'integrale non è improprio
incomincio a rispondere alla prima domanda
se $alpha < 0$ puoi sostituire $alpha$ con $-alpha$
pertanto
$int_0^1 1/x^(-alpha) dx = int_0^1 x^alpha dx$
dove l'estremo di integrazione pari a $0$ è perfettamente accettabile, quindi l'integrale non è improprio
"dan95":
Prima risposta: per $a \leq 0$ la funzione è limitata in un intervallo limitato e come dice giustamente il libro non ci si pongono problemi di integrazione.
Seconda risposta: Le primitive sono le stesse scritte in modo diverso.
"Summerwind78":
Ciao
incomincio a rispondere alla prima domanda
se $alpha < 0$ puoi sostituire $alpha$ con $-alpha$
pertanto
$int_0^1 1/x^(-alpha) dx = int_0^1 x^alpha dx$
dove l'estremo di integrazione pari a $0$ è perfettamente accettabile, quindi l'integrale non è improprio
Ottimo grazie
"dan95":
Seconda risposta: Le primitive sono le stesse scritte in modo diverso.
Giusto, la parte all'esponente mi faceva confondere. Come mai questo tipo diverso di scrittura tra i due casi?
Per renderlo positivo
$a<1 \Leftrightarrow 1-a>0$
$a<1 \Leftrightarrow 1-a>0$
Ringrazio per la risposta, ma siccome non mi era chiara, ho provato a ristudiare la cosa su un altro libro, ma mi incastro sempre sullo stesso problema (sottolineato in rosso)
Incollo il link perché potrebbe spaginare http://i.imgur.com/cToHLfR.jpg
Incollo il link perché potrebbe spaginare http://i.imgur.com/cToHLfR.jpg
Non hai capito perché $1-\alpha>0$?
"dan95":
Non hai capito perché $1-\alpha>0$?
Sì non ho capito come viene fuori
Nel link che hai postato davanti a $1-\alpha$ c'è la congiunzione "se" che introduce una condizione/ipotesi dunque per ipotesi $1>\alpha$
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