Integrali generalizzati esercizio
Dato l'integrale $sin(x^2)/(xsqrt(1+x^2))$ determinare se converge tra $0$ e +infinito.
Guardando la soluzione il libro dice : "per x->+infinito, vi è infinitesimo di ordine 3/2, la funzione è quindi integrabile".
Come capisco che l'ordine è 3/2?
Grazie
Guardando la soluzione il libro dice : "per x->+infinito, vi è infinitesimo di ordine 3/2, la funzione è quindi integrabile".
Come capisco che l'ordine è 3/2?
Grazie
Risposte
La funzione $sin(x^2)$ è limitata, in valore assoluto è sempre $\leq 1$. Quindi ciò che conta è il denominatore che appunto all'infinito è asintotico a $\frac{1}{x^2}$. Per $x \to 0^+$ prova con uno sviluppo di Taylor centrato in $0$.
E' lo stesso ragionamento che ho fatto io, ma cosa c'entra il 3/2?
Se il denominatore è quello che hai scritto tu, asintoticamente la funzione va come $\frac{1}{x^2}.$ Attendiamo conferma ma mi sembra che ci sia un errore nella soluzione del libro.
Dunque, io lo spezzerei nel modo seguente:
Osservi che la funzione \( f(x)=\frac{\sin{x^2}}{x\sqrt{1+x^2}} \) è continua in $(0,+infty)$ (in particolare lo è in $(0,1)$) e tende a 0 per $x->0^{+}$ quindi \( \displaystyle\int_{0}^{1}\frac{\sin{x^2}}{x\sqrt{1+x^2}}dx \) converge.
Inoltre anche \( \displaystyle\int_{1}^{+\infty}\frac{\sin{x^2}}{x\sqrt{1+x^2}}dx \) converge perché converge assolutamente.
Infatti \( \displaystyle\int_{1}^{+\infty}\Big|\frac{\sin{x^2}}{x\sqrt{1+x^2}}\Big|dx\leq\displaystyle\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x\sqrt{1+x^2}}dx \) e quello più a destra converge perché l'integranda è continua su $(1,+\infty)$ e \( \displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{x\sqrt{1+x^2}}=0 \) di ordine $2$ ($>1$, e quindi converge per il criterio asintotico degli integrali impropri).
Allora l'integrale di partenza, essendo uguale alla somma di due integrali convergenti, è convergente.
Ti torna?
\( \displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin{x^2}}{x\sqrt{1+x^2}}dx=\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{\sin{x^2}}{x\sqrt{1+x^2}}dx+\displaystyle\int_{1}^{+\infty}\frac{\sin{x^2}}{x\sqrt{1+x^2}}dx\)
Osservi che la funzione \( f(x)=\frac{\sin{x^2}}{x\sqrt{1+x^2}} \) è continua in $(0,+infty)$ (in particolare lo è in $(0,1)$) e tende a 0 per $x->0^{+}$ quindi \( \displaystyle\int_{0}^{1}\frac{\sin{x^2}}{x\sqrt{1+x^2}}dx \) converge.
Inoltre anche \( \displaystyle\int_{1}^{+\infty}\frac{\sin{x^2}}{x\sqrt{1+x^2}}dx \) converge perché converge assolutamente.
Infatti \( \displaystyle\int_{1}^{+\infty}\Big|\frac{\sin{x^2}}{x\sqrt{1+x^2}}\Big|dx\leq\displaystyle\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x\sqrt{1+x^2}}dx \) e quello più a destra converge perché l'integranda è continua su $(1,+\infty)$ e \( \displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{x\sqrt{1+x^2}}=0 \) di ordine $2$ ($>1$, e quindi converge per il criterio asintotico degli integrali impropri).
Allora l'integrale di partenza, essendo uguale alla somma di due integrali convergenti, è convergente.
Ti torna?
Quello che non ci tornava è il motivo per il quale l'ordine di infinito è $\frac{3}{2}$ e non $2$.
"mombs":
Quello che non ci tornava è il motivo per il quale l'ordine di infinito è $\frac{3}{2}$ e non $2$.
Si ho sbagliato. Ha ordine 2. che comunque va bene lo stesso per la convergenza.
Perché il radicando sotto la radice ha ordine 2, con la radice l'ordine del radicando si moltiplica per $\frac{1}{2}$ e quindi viene di ordine 1 e poi siccome hai la $x$ che moltiplica la radice, e che ha ordine 1, il tutto ha ordine $1+1=2$
NB: però lo dovresti staccare l'integrale iniziale perché la funzione \( f(x)=\frac{\sin{x^2}}{x\sqrt{1+x^2}} \) non ha ordine reale per $x->+\infty$. Prova a confrontarlo con il suo infinitesimo campione $\frac{1}{x^\alpha}$ e vedrai che non c'è un $\alpha$ che permette di avere un limite finito e non nullo. E questo non ti permette di concludere nulla sulla convergenza dell'integrale.
Sì, concordo con lei, il suo procedimento con la separazione degli integrali è corretto e non lascia dubbi. Ora che ci troviamo anche sull'ordine di infinito, l'esercizio è risolto. Grazie mille!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo