Integrali Generalizzati

[g.longhi]

Ciao a tutti, so che sto "impestando" il forum di richieste di verifica e suggerimenti.. ma non vorrei fallire al prossimo appello di Analisi 1

Il primo esercizio è $ int_(0)^(+oo) ln(1+x)/x^2 dx $

Lo spezzo in $ int_(0)^(1) ln(1+x)/x^2 dx + int_(1)^(+oo) ln(1+x)/x^2 dx $

Sviluppo il numeratore con la formula di taylor, o meglio di McLaurin e riscrivo l'integrale come

$(x-x^2/2+o(x^2))/x^2$, che applicando il criterio del confronto asintotico risulta essere equivalente a $1/x$, il quale non converge, quindi nemmeno l'integrale di partenza. Il risultato infatti riporta non convergente, ma vorrei sapere se è ben svolto e se c'è qualche "toppa" concettuale


Sul secondo invece invece sono bloccato.


$ int_(0)^(1) (x^x-1)/x dx $

Col criterio del confronto e del confronto asintotico non è possibile svolgerlo poichè $f(x)<0$ nella zona di integrazione.
Qualche suggerimento?

[Antimius]

E' giusto quel che hai fatto perché $lim_(xto0^+)(ln(1+x)/x^2)/(1/x)=lim_(xto0^+)ln(1+x)/x=1>0$ (potevi usare direttamente il limite notevole). Quindi usi il confronto asintotico e giustamente, essendo la funzione positiva, ti basta per dire che l'intero integrale diverge positivamente (perché l'altro addendo o converge o diverge positivamente).

Per quando riguarda il secondo, considera che se la funzione è negativa in $(0,1]$, puoi studiare l'integrale di $(1-x^x)/x$ che è sicuramente positiva
Considera anche che $x^x=e^(x*logx)$, ci vedo già un altro limite notevole da applicare...

[g.longhi]

Scusa il ritardo Antimius, colpa della febbre

Non vorrei dire una cavolata, ma se studio la $f(x)=(1-x^x)/x$ nella zona di integrazione è sempre $>=0$, quindi posso applicare il criterio del confronto?