Integrali, funzioni periodiche, estremi di integrazione

[Riccardo Desimini]

Ciao a tutti,
sono bloccato con questo esercizio.

Dovrei far vedere che, se \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) è una funzione periodica di periodo \( a > 0 \) e integrabile su intervalli limitati, allora l'integrale
\[ \int_x^{x+a} f(t)\, \text{d}t \]
non dipende da \( x \).

Come si fa a dimostrare rigorosamente? Intuitivamente è una banalità, ma non riesco a trovare spunti per dimostrarlo.

Qualcuno mi sa dare qualche input?

[4mrkv]

Esplicitando l'integrale ed usando la periodicità?

[Riccardo Desimini]

Cosa vuol dire "esplicitando l'integrale"?

[4mrkv]

Giusto per vedere cosa viene fuori. Prova così
\begin{split}
\frac{\partial }{\partial x}\int_{x}^{a+x}f(t)\mbox{d}t
&=\frac{\partial }{\partial x}[F(t)]_{x}^{a+x} \\
&=\frac{\partial }{\partial x}(F(a+x)-F(x)) \\
&=f(a+x)-f(a) \\
&=0
\end{split}

[Riccardo Desimini]

Una proposta interessante, la tua. Ti ringrazio.

Se qualcun altro vuole proporre delle strade alternative, sono tutto orecchi.

[4mrkv]

Forse scrivo una cazzata, ma se provi a levarti subito la \(x\) con un cambio di variabile?
\begin{split}
\int_{x}^{a+x}f(t)\mbox{d}t
&=\int_{t-a}^{t}f(a+x)\mbox{d}x \\
&=\int_{t-a}^{t}f(a)\mbox{d}x \\
&=f(a)\int_{t-a}^{t}\mbox{d}x \\
&=f(a)[x]_{t-a}^{t} \\
&=af(a)
\end{split}

[dissonance]

Pure io userei un cambio di variabile, ma in quest'ultimo post c'è qualcosa che non va. Prova con \(f=\cos\) e \(a=2\pi\) e trovi la contraddizione \(0=2\pi\).

[Riccardo Desimini]

Hai commesso lo stesso errore nelle due scritture seguenti:

"4mrkv":\[ \frac{\partial}{\partial x}(F(a+x)-F(x))=f(a+x)-f(a)=0 \]

"4mrkv":Forse scrivo una cazzata, ma se provi a levarti subito la \( x \) con un cambio di variabile?
\[ \int_{t-a}^{t}f(a+x)\mbox{d}x=\int_{t-a}^{t}f(a)\mbox{d}x \]

In realtà, risulta \( f(a + x) = f(x) \) e non \( f(a) \).

[gugo82]

Derivare non si può.
Infatti, chi dice che valgano le ipotesi del TFCI?

D'altra parte, basta far vedere che:
\[
\int_x^{x+a} f(t)\ \text{d} t = \int_0^a f(t)\ \text{d} t\; .
\]
Chiaramente, una sostituzione del tipo \(\tau = t-x\) non funziona, perché porta \(x\) (e non \(a\)!) dentro la \(f\), non consentendo di usare la periodicità. Quindi si deve tentare un'altra via.

Quella più comoda è spezzare l'intervallo di integrazione e portarlo a coincidere con un intervallo di periodicità.

Dim.: Divido per comodità la dimostrazione in tre passi.

1. Vale \(\int_x^{x+a} f(t)\ \text{d} t = \int_{ka}^{(k+1)a} f(t)\ \text{d} t\) per un appropriato \(k\in \mathbb{Z}\).
La cosa è vera se \(x=ka\) con \(k\in \mathbb{Z}\), quindi possiamo supporre che \(x\) non sia un multiplo intero di \(a\).
Dato che l'intervallo \([x,x+a[\) ha ampiezza pari ad \(a\) ed \(x\) non è un multiplo intero di \(a\), in esso cade almeno un numero del tipo \(ka\) con \(k\in \mathbb{Z}\); per la proprietà additiva, per sostituzione e per periodicità si ha:
\[
\begin{split}
\int_x^{x+a} f(t)\ \text{d} t &= \int_x^{ka} f(t)\ \text{d} t + \int_{ka}^{x+a} f(t)\ \text{d} t\\
&= \int_x^{ka} f(t+a)\ \text{d} t + \int_{ka}^{x+a} f(t)\ \text{d} t\\
&\stackrel{\tau=t+a}{=} \int_{x+a}^{(k+1)a} f(\tau)\ \text{d} \tau + \int_{ka}^{x+a} f(t)\ \text{d} t\\
&= \int_{ka}^{(k+1)a} f(t)\ \text{d} t\; ,
\end{split}
\]
come volevamo.

2. Vale \(\int_{ka}^{(k+1)a} f(t)\ \text{d} t = \int_0^a f(t)\ \text{d} t\) per ogni \(k\in \mathbb{Z}\).
Infatti risulta:
\[
\begin{split}
\int_{ka}^{(k+1)a} f(t)\ \text{d} t &= \int_{ka}^{(k+1)a} f(t-ka)\ \text{d} t\\
&\stackrel{\tau=t-ka}{=} \int_0^a f(\tau)\ \text{d} \tau
\end{split}
\]
per ogni \(k\).

3. Conclusione.
Per ogni \(x\in \mathbb{R}\) si ha:
\[
\int_x^{x+a} f(t)\ \text{d} t = \int_0^a f(t)\ \text{d} t\; ,
\]
il che mostra che il valore di \(\int_x^{x+a} f(t)\ \text{d} t\) è costante, come volevamo.

[4mrkv]

"Riccardo Desimini":Hai commesso lo stesso errore nelle due scritture seguenti:
[quote="4mrkv"]\[ \frac{\partial}{\partial x}(F(a+x)-F(x))=f(a+x)-f(a)=0 \]

"4mrkv":Forse scrivo una cazzata, ma se provi a levarti subito la \( x \) con un cambio di variabile?
\[ \int_{t-a}^{t}f(a+x)\mbox{d}x=\int_{t-a}^{t}f(a)\mbox{d}x \]

In realtà, risulta \( f(a + x) = f(x) \) e non \( f(a) \).[/quote] Hai ragione.

[Riccardo Desimini]

Ti ringrazio, gugo.