Integrali fratti con radice
Salve a tutti e grazie in anticipo a chi vorrà darmi una mano: stò facendo esercizi sugli integrali e ho qualche dubbio in particolare su quelli irrazionali, ad esempio:
\(\int_\frac{x} {\sqrt{-x^2+x+2}} dx \)
praticamente al denominatore ho fatto il completamento del quadrato cosi
\(\int \frac{x} {\sqrt{-(x-1/2)^2+(3/2)^2}} dx \)
altrimenti si poteva scomporre in \(\ (x-2)*(-x-1) \) però non ne vedevo l'utilità..
però a questo punto dovrei avere solo dx al numeratore per l'integrale "notevole", cosa ci dovrei fare con la x al numeratore?
\(\int_\frac{x} {\sqrt{-x^2+x+2}} dx \)
praticamente al denominatore ho fatto il completamento del quadrato cosi
\(\int \frac{x} {\sqrt{-(x-1/2)^2+(3/2)^2}} dx \)
altrimenti si poteva scomporre in \(\ (x-2)*(-x-1) \) però non ne vedevo l'utilità..
però a questo punto dovrei avere solo dx al numeratore per l'integrale "notevole", cosa ci dovrei fare con la x al numeratore?
Risposte
Ciao df1ee5dd07489ec65c7a,
Benvenuto sul forum!
Si ha:
$int frac{x}{sqrt{- x^2 + x + 2}} dx = int frac{x}{sqrt{(3/2)^2 - (x - 1/2)^2}} dx = $
A questo punto porrei $t := x - 1/2 \implies x = t + 1/2 \implies dx = dt $ e...
Benvenuto sul forum!
Si ha:
$int frac{x}{sqrt{- x^2 + x + 2}} dx = int frac{x}{sqrt{(3/2)^2 - (x - 1/2)^2}} dx = $
A questo punto porrei $t := x - 1/2 \implies x = t + 1/2 \implies dx = dt $ e...
Grazie mi ero bloccato con questa sostituzione in effetti si può andare avanti! ho continuato però potrei essere incappato in un qualche altro errore:
$ int frac{x}{sqrt{- x^2 + x + 2}} dx = int frac{x}{sqrt{(3/2)^2 - (x - 1/2)^2}} dx = $
$ t := x - 1/2 \implies x = t + 1/2 \implies dx = dt $
$ int frac{t+(1/2)}{sqrt{(3/2)^2-t^2}} dt = int frac{(2t+1)/2}{sqrt{(3/2)^2-t^2}} dt =
1/2 int frac{2t}{sqrt{(3/2)^2-t^2}} dt + 1/2 int frac{1}{sqrt{(3/2)^2-t^2}} dt =
1/2 arcsen(2/3)t + (1/2) log (t+sqrt{t-(3/2)^2}) + c $
che dici? dovrebbe essere sbagliato perchè andando a sostituire le x non mi torna con la soluzione per qualcosa.... se ti torna posto anche il resto
$ int frac{x}{sqrt{- x^2 + x + 2}} dx = int frac{x}{sqrt{(3/2)^2 - (x - 1/2)^2}} dx = $
$ t := x - 1/2 \implies x = t + 1/2 \implies dx = dt $
$ int frac{t+(1/2)}{sqrt{(3/2)^2-t^2}} dt = int frac{(2t+1)/2}{sqrt{(3/2)^2-t^2}} dt =
1/2 int frac{2t}{sqrt{(3/2)^2-t^2}} dt + 1/2 int frac{1}{sqrt{(3/2)^2-t^2}} dt =
1/2 arcsen(2/3)t + (1/2) log (t+sqrt{t-(3/2)^2}) + c $
che dici? dovrebbe essere sbagliato perchè andando a sostituire le x non mi torna con la soluzione per qualcosa.... se ti torna posto anche il resto
"df1ee5dd07489ec65c7a":
se ti torna
No, non mi torna...
Arrivato qui
$int frac{t+(1/2)}{sqrt{(3/2)^2-t^2}} dt = int frac{t}{sqrt{(3/2)^2-t^2}} dt + 1/2 int frac{1}{sqrt{(3/2)^2-t^2}} dt $
osserverei che il primo integrale è immediato, essendo del tipo seguente:
$int frac{t}{sqrt{a^2-t^2}} dt = - 1/2 int frac{-2t}{sqrt{a^2-t^2}} dt = - 1/2 int [f(t)]^{-1/2} f'(t) dt = - [f(t)]^{1/2} + c = $
$ = - sqrt{a^2 - t^2} + c $
e nel caso in esame $a = 3/2 $
Il secondo integrale invece è quasi immediato, essendo del tipo seguente:
$ int frac{1}{sqrt{a^2-t^2}} dt = arcsin(t/a) + c $
In definitiva, ricordandosi la posizione $t := x - 1/2 $ effettuata, si ottiene il risultato seguente:
$ int frac{x}{sqrt{- x^2 + x + 2}} dx = - sqrt{- x^2 + x + 2} + 1/2 arcsin(frac{2x - 1}{3}) + c $
"pilloeffe":
[quote="df1ee5dd07489ec65c7a"]se ti torna
No, non mi torna...
Arrivato qui
$int frac{t+(1/2)}{sqrt{(3/2)^2-t^2}} dt = int frac{t}{sqrt{(3/2)^2-t^2}} dt + 1/2 int frac{1}{sqrt{(3/2)^2-t^2}} dt $
[/quote]
come mai non è
$int frac{t+(1/2)}{sqrt{(3/2)^2-t^2}} dt = 1/2 int frac{t}{sqrt{(3/2)^2-t^2}} dt + 1/2 int frac{1}{sqrt{(3/2)^2-t^2}} dt $
cioè 1/2 perchè è presente solo prima del secondo integrale?
poi un'altra cosa: io ho un integrale notevole che dice questo
$int frac{bx'}{sqrt(a^2-bx^2)} dt = arcsen((sqrt(b))/a)x $
per questo ero arrivato alla conclusione dell'arcoseno col primo integrale e poi ne avevo un'altro ma penso sia sbagliato, mi sa che devo tenermi solo gli integrali notevoli più utili, ne ho troppi xD
"df1ee5dd07489ec65c7a":
cioè 1/2 perchè è presente solo prima del secondo integrale?
Beh, perché a numeratore c'è $t + 1/2 $ e non $1/2 t + 1/2 $...
"pilloeffe":
[quote="df1ee5dd07489ec65c7a"]cioè 1/2 perchè è presente solo prima del secondo integrale?
Beh, perché a numeratore c'è $t + 1/2 $ e non $1/2 t + 1/2 $...
[/quote]$ int frac{t+(1/2)}{sqrt{(3/2)^2-t^2}} dt = int frac{(2t+1)/2}{sqrt{(3/2)^2-t^2}} dt = int 1/2* frac{(2t+1)}{sqrt{(3/2)^2-t^2}} = 1/2 int frac{(2t+1)}{sqrt{(3/2)^2-t^2}} =1/2 [ int frac{t}{sqrt{(3/2)^2-t^2}} dt + int frac{1}{sqrt{(3/2)^2-t^2}} dt ] = 1/2 int frac{t}{sqrt{(3/2)^2-t^2}} dt + 1/2 int frac{1}{sqrt{(3/2)^2-t^2}} dt $
"df1ee5dd07489ec65c7a":
a quel punto quando vado a spezzare dovrebbe essere comune a entrambi no?
No, perché hai dimenticato un $ 2$: nel primo integrale fra parentesi quadre a numeratore deve esserci $2t $, non $t$...
"pilloeffe":
[quote="df1ee5dd07489ec65c7a"]a quel punto quando vado a spezzare dovrebbe essere comune a entrambi no?
No, perché hai dimenticato un $ 2$: nel primo integrale fra parentesi quadre a numeratore deve esserci $2t $, non $t$...
[/quote]ah è vero che stupidaggine, avevo perso il filo e non mi ero reso conto che oltre al 2 sotto era sparito il 2 sopra, pardon, leggerò con più attenzione la prossima volta
avrei un'altra domanda: ho questo integrale qua:
$ int frac{dx}{sqrt{x^2-3x+2}} $
mi sono ricondotto al tipo
$ int frac{1}{sqrt{a^2-t^2}} dt = arcsin(t/a) + c $
sempre col completamento del quadrato in questo modo
$ int frac{dx}{sqrt{x^2 - 3x + 9/4 + 2 - 9/4}} = int frac{dx}{sqrt{(x^2 - 3x + 9/4) -1/4}} = int frac{dx}{sqrt{-[(1/2)^2-(x-3/2)^2]}} $
che mi dovrebbe ricondurre all'arcoseno, però sono andato a controllare la soluzione ma parla di un logaritmo
$ int frac{dx}{sqrt{x^2-3x+2}} $
mi sono ricondotto al tipo
$ int frac{1}{sqrt{a^2-t^2}} dt = arcsin(t/a) + c $
sempre col completamento del quadrato in questo modo
$ int frac{dx}{sqrt{x^2 - 3x + 9/4 + 2 - 9/4}} = int frac{dx}{sqrt{(x^2 - 3x + 9/4) -1/4}} = int frac{dx}{sqrt{-[(1/2)^2-(x-3/2)^2]}} $
che mi dovrebbe ricondurre all'arcoseno, però sono andato a controllare la soluzione ma parla di un logaritmo
Ciao Fabio, perdonatemi se mi intrometto 
In questo tuo ultimo caso l'integrale a cui fare riferimento è il seguente:
$ int f^{\prime}(x)/sqrt(f^2(x) - 1) dx $ = $ cosh^(-1)f(x) + c$ o equivalentemente a $ log(f(x) + sqrt(f^2(x) - 1)) + C $
In questo tuo ultimo caso l'integrale a cui fare riferimento è il seguente:
$ int f^{\prime}(x)/sqrt(f^2(x) - 1) dx $ = $ cosh^(-1)f(x) + c$ o equivalentemente a $ log(f(x) + sqrt(f^2(x) - 1)) + C $
"M.C.D.":
Ciao Fabio, perdonatemi se mi intrometto
In questo tuo ultimo caso l'integrale a cui fare riferimento è il seguente:
$ int f^{\prime}(x)/sqrt(f^2(x) - 1) dx $ = $ cosh^(-1)f(x) + c$ o equivalentemente a $ log(f(x) + sqrt(f^2(x) - 1)) + C $
hmmm allora non ho capito una cosa, tu hai considerato chiaramente 1 come derivata della x e hai inserito il meno nella parentesi, e quindi la tua primitiva va bene, però non ho capito perchè hai considerato l'a^2 come un 1? a meno che quello non può essere letto come un a generico, cioè cosi
$ int f^{\prime}(x)/sqrt(f^2(x) - a) dx $
inoltre, correggimi se sbaglio, la primitiva che hai postato tu si utilizza solo quando c'è la derivata della x al numeratore, se fosse stato ad esempio:
$ int frac{dx}{sqrt{[(1/2)^2-(x^2-3/2)^2] $
in questo ipotetico caso essendo x^2 non c'è la derivata al numeratore, quindi dovrei utilizzare quello dell'arcoseno vero?
ti ringrazio per la risposta
"df1ee5dd07489ec65c7a":
[quote="M.C.D."]Ciao Fabio, perdonatemi se mi intrometto
In questo tuo ultimo caso l'integrale a cui fare riferimento è il seguente:
$ int f^{\prime}(x)/sqrt(f^2(x) - 1) dx $ = $ cosh^(-1)f(x) + c $ o equivalentemente a $ log(f(x) + sqrt(f^2(x) - 1)) + C $
hmmm allora non ho capito una cosa, tu hai considerato chiaramente 1 come derivata della x e hai inserito il meno nella parentesi, e quindi la tua primitiva va bene, però non ho capito perchè hai considerato l'a^2 come un 1? a meno che quello non può essere letto come un a generico, cioè cosi
$ int f^{\prime}(x)/sqrt(f^2(x) - a) dx $
inoltre, correggimi se sbaglio, la primitiva che hai postato tu si utilizza solo quando c'è la derivata della x al numeratore, se fosse stato ad esempio:
$ int frac{dx}{sqrt{[(1/2)^2-(x^2-3/2)^2] $
in questo ipotetico caso essendo x^2 non c'è la derivata al numeratore, quindi dovrei utilizzare quello dell'arcoseno vero?
ti ringrazio per la risposta
[/quote]Quello che ho scritto io è l'integrale a cui devi fare riferimento
Non puoi applicarlo cosi' com'è al tuo esercizio, un po come l'integrale che hai usato nel tuo primo esercizio, ovvero:$ int frac{1}{sqrt{a^2-t^2}} dt $ discende dall'integrale notevole $ int frac{1}{sqrt{1-t^2}} $ con pochi semplici passaggi algebrici che adesso vado ad esporti
------------------------------------------------------------
Abbiamo il seguente integrale
$ int frac{dx}{sqrt{x^2-3x+2}} $
che tu giustamente,utilizzando il completamento del quadrato hai riscritto nella forma:
$ int frac{dx}{sqrt{x^2 - 3x + 9/4 + 2 - 9/4}} = int frac{dx}{sqrt{(x^2 - 3x + 9/4) -1/4}} $
A questo punto ottengo:
$int frac{dx}{sqrt{[(x-3/2)^2 - (1/2)^2]}} $
Ora sotto radice posso mettere un $(1/2)^2$ in evidenza, ottenendo:
$int frac{dx}{sqrt{1/4[frac{(x-3/2)^2}{(1/2)^2} -1]}} $
adesso porto $1/4$ fuori dalla radice, e anche fuori dall'integrale:
$2 int frac{dx}{sqrt{[frac{(x-3/2)^2}{(1/2)^2} -1]}} $ = $2 int frac{dx}{sqrt{[(frac{x-3/2}{1/2})^2 -1]}} $
ora con qualche piccolo passaggio algebrico $(frac{x-3/2}{1/2})^2 = (2x-3)^2$
Quindi l'integrale diviene:
$2 int frac{dx}{sqrt[(2x-3)^2 -1]} $
Ora riguarda quello da me scritto: $ int f^{\prime}(x)/sqrt(f^2(x) - 1) dx $
Sono quasi simili, la mia $ f(x) = 2x-3 $ quindi mi manca solo la sua derivata al numeratore, ma la derivata è proprio
$2$ , che è la quantità che ho fuori dall'integrale, e che prontamente rimetto dentro:
$int frac{2dx}sqrt{[(2x-3)^2 -1]} $
e quindi usando l'integrale notevole
$ int frac{2dx}{sqrt[(2x-3)^2 -1]} $ = $log ((2x-3) + sqrt((2x-3)^2 - 1)) + C$
Sperando di non aver commesso errori nei calcoli, questo è il procedimento da seguire
torna! è vero in effetti lo avevo lasciato un pò cosi com'era e avevo cercato subito una primitiva invece di cercare di fare qualche altra semplificazione 
mi appello alla vostra pazienza xD ho un altro piccolo problema, praticamente alla fine dell'integrale (i passaggi precedenti sono tutti corretti ho controllato sulla soluzione) rimane questo
$ int_{1/2}^{1} (x+3)/(x^2+3) dx - int_{1/2}^{1} 1/(x-2) dx = $
e io lo risolvo cosi
$ int_{1/2}^{1} (x+3)/(x^2+3) dx - int_{1/2}^{1} 1/(x-2) dx = 1/2 int_{1/2}^{1} (2x)/(x^2+3) dx + 3 int_{1/2}^{1} dx/(x^2+3) - int_{1/2}^{1} 1/(x-2) dx = [1/2 arctg(x)+sqrt(3) arctg(x/sqrt(3)) - log |x-2|]_{1/2}^{1} $
andando però a calcolare il tutto sembra non tornare, mi è sfuggito qualcosa o fino a li vi torna? premetto che sono andato a verificare la soluzione e c'è un passaggio che non ho capito, cioè questo
$ int_{1/2}^{1} (x+3)/(x^2+3) dx - int_{1/2}^{1} 1/(x-2) dx = [1/2 log(x^2+3)]_{1/2}^{1} + int_{1/2}^{1} (x+3)/((x/sqrt(3))^2+1) dx - int_{1/2}^{1} 1/(x-2) dx = $
qualcuno me lo spiega?
$ int_{1/2}^{1} (x+3)/(x^2+3) dx - int_{1/2}^{1} 1/(x-2) dx = $
e io lo risolvo cosi
$ int_{1/2}^{1} (x+3)/(x^2+3) dx - int_{1/2}^{1} 1/(x-2) dx = 1/2 int_{1/2}^{1} (2x)/(x^2+3) dx + 3 int_{1/2}^{1} dx/(x^2+3) - int_{1/2}^{1} 1/(x-2) dx = [1/2 arctg(x)+sqrt(3) arctg(x/sqrt(3)) - log |x-2|]_{1/2}^{1} $
andando però a calcolare il tutto sembra non tornare, mi è sfuggito qualcosa o fino a li vi torna? premetto che sono andato a verificare la soluzione e c'è un passaggio che non ho capito, cioè questo
$ int_{1/2}^{1} (x+3)/(x^2+3) dx - int_{1/2}^{1} 1/(x-2) dx = [1/2 log(x^2+3)]_{1/2}^{1} + int_{1/2}^{1} (x+3)/((x/sqrt(3))^2+1) dx - int_{1/2}^{1} 1/(x-2) dx = $
qualcuno me lo spiega?
"df1ee5dd07489ec65c7a":
mi appello alla vostra pazienza xD ho un altro piccolo problema, praticamente alla fine dell'integrale (i passaggi precedenti sono tutti corretti ho controllato sulla soluzione) rimane questo
$ int_{1/2}^{1} (x+3)/(x^2+3) dx - int_{1/2}^{1} 1/(x-2) dx = $
e io lo risolvo cosi
$ int_{1/2}^{1} (x+3)/(x^2+3) dx - int_{1/2}^{1} 1/(x-2) dx = 1/2 int_{1/2}^{1} (2x)/(x^2+3) dx + 3 int_{1/2}^{1} dx/(x^2+3) - int_{1/2}^{1} 1/(x-2) dx = [1/2 arctg(x)+sqrt(3) arctg(x/sqrt(3)) - log |x-2|]_{1/2}^{1} $
andando però a calcolare il tutto sembra non tornare, mi è sfuggito qualcosa o fino a li vi torna?
Il problema è qui:
$1/2 int_{1/2}^{1} (2x)/(x^2+3) dx$
Noti che il numeratore è la derivata del denominatore, quindi l'integrale notevole da usare è il seguente:
$ int (f'(x))/(f(x)) dx = log(|f(x)|) + C $
Non puoi usare:
$int frac{f'(x)}{f(x)^2+ 1} dx$
perchè avresti bisogno della derivata di $f(x)$ al numeratore, nel tuo caso $f(x) = x$ (non $x^2$), la cui derivata è 1
"M.C.D.":
[quote="df1ee5dd07489ec65c7a"]mi appello alla vostra pazienza xD ho un altro piccolo problema, praticamente alla fine dell'integrale (i passaggi precedenti sono tutti corretti ho controllato sulla soluzione) rimane questo
$ int_{1/2}^{1} (x+3)/(x^2+3) dx - int_{1/2}^{1} 1/(x-2) dx = $
e io lo risolvo cosi
$ int_{1/2}^{1} (x+3)/(x^2+3) dx - int_{1/2}^{1} 1/(x-2) dx = 1/2 int_{1/2}^{1} (2x)/(x^2+3) dx + 3 int_{1/2}^{1} dx/(x^2+3) - int_{1/2}^{1} 1/(x-2) dx = [1/2 arctg(x)+sqrt(3) arctg(x/sqrt(3)) - log |x-2|]_{1/2}^{1} $
andando però a calcolare il tutto sembra non tornare, mi è sfuggito qualcosa o fino a li vi torna?
Il problema è qui:
$1/2 int_{1/2}^{1} (2x)/(x^2+3) dx$
Noti che il numeratore è la derivata del denominatore, quindi l'integrale notevole da usare è il seguente:
$ int (f'(x))/(f(x)) dx = log(|f(x)|) + C $
Non puoi usare:
$int frac{f'(x)}{f(x)^2+ 1} dx$
perchè avresti bisogno della derivata di $f(x)$ al numeratore, nel tuo caso $f(x) = x$ (non $x^2$), la cui derivata è 1[/quote]
ah ho capito, ma allora come si potrebbe fare? qui c'è la soluzione di quel passaggio però sintetica
$ int_{1/2}^{1} (x+3)/(x^2+3) dx - int_{1/2}^{1} 1/(x-2) dx = [1/2 log(x^2+3)]_{1/2}^{1} + int_{1/2}^{1} (x+3)/((x/sqrt(3))^2+1) dx - int_{1/2}^{1} 1/(x-2) dx = $
ce la faresti a spiegarmi cosa ha fatto? ha raccolto un 3 al denominatore e poi?
"df1ee5dd07489ec65c7a":
[quote="M.C.D."][quote="df1ee5dd07489ec65c7a"]mi appello alla vostra pazienza xD ho un altro piccolo problema, praticamente alla fine dell'integrale (i passaggi precedenti sono tutti corretti ho controllato sulla soluzione) rimane questo
$ int_{1/2}^{1} (x+3)/(x^2+3) dx - int_{1/2}^{1} 1/(x-2) dx = $
e io lo risolvo cosi
$ int_{1/2}^{1} (x+3)/(x^2+3) dx - int_{1/2}^{1} 1/(x-2) dx = 1/2 int_{1/2}^{1} (2x)/(x^2+3) dx + 3 int_{1/2}^{1} dx/(x^2+3) - int_{1/2}^{1} 1/(x-2) dx = [1/2 arctg(x)+sqrt(3) arctg(x/sqrt(3)) - log |x-2|]_{1/2}^{1} $
andando però a calcolare il tutto sembra non tornare, mi è sfuggito qualcosa o fino a li vi torna?
Il problema è qui:
$1/2 int_{1/2}^{1} (2x)/(x^2+3) dx$
Noti che il numeratore è la derivata del denominatore, quindi l'integrale notevole da usare è il seguente:
$ int (f'(x))/(f(x)) dx = log(|f(x)|) + C $
Non puoi usare:
$int frac{f'(x)}{f(x)^2+ 1} dx$
perchè avresti bisogno della derivata di $f(x)$ al numeratore, nel tuo caso $f(x) = x$ (non $x^2$), la cui derivata è 1[/quote]
ah ho capito, ma allora come si potrebbe fare? qui c'è la soluzione di quel passaggio però sintetica
$ int_{1/2}^{1} (x+3)/(x^2+3) dx - int_{1/2}^{1} 1/(x-2) dx = [1/2 log(x^2+3)]_{1/2}^{1} + int_{1/2}^{1} (x+3)/((x/sqrt(3))^2+1) dx - int_{1/2}^{1} 1/(x-2) dx = $
ce la faresti a spiegarmi cosa ha fatto? ha raccolto un 3 al denominatore e poi?[/quote]
Sicuro che non ci sia un errore di battitura nel primo integrale dopo = ?
L'integrale lo risolverei cosi:
$ int_{1/2}^{1} (x+3)/(x^2+3) dx - int_{1/2}^{1} 1/(x-2) dx = $
$ int_{1/2}^{1} (x)/(x^2+3) dx + int_{1/2}^{1} (3)/(x^2+3) dx - int_{1/2}^{1} 1/(x-2) dx = $
Dopodichè come dicevamo nel post precedente:
$int_{1/2}^{1} (x)/(x^2+3) dx = 1/2int_{1/2}^{1} (2x)/(x^2+3) dx = [1/2 log(x^2+3)]_{1/2}^{1}$
$3int_{1/2}^{1} (1)/(x^2+3) dx = 3/3 int_{1/2}^{1} (1)/((x/sqrt(3))^2+1) dx = int_{1/2}^{1} (1)/((x/sqrt(3))^2+1) dx $
ho bisogno della derivata di $x/sqrt(3)$ al numeratore, essa è $1/sqrt(3)$ quindi moltiplico e divido per $sqrt(3)$, da cui:
$ int_{1/2}^{1} (1)/((x/sqrt(3))^2+1) dx = sqrt(3) int_{1/2}^{1} (1/sqrt(3))/((x/sqrt(3))^2+1) dx $
ed utilizzo l'integrale notevole:
$int (f'(x))/(f^2(x)+1) dx = arctgf(x) + C $
e l'ultimo integrale:
$ int_{1/2}^{1} 1/(x-2) dx = [log|x-2|]_{1/2}^{1} $
Potrebbe essere un errore si comunque ok ho capito! ho ancora qualche difficoltà, più che nei calcoli, ad individuare la corretta primitiva a cui ricondurmi, visto che di integrali notevoli ce ne sono parecchi.
comunque ok ho capito! ho ancora qualche difficoltà, più che nei calcoli, ad individuare la corretta primitiva a cui ricondurmi, visto che di integrali notevoli ce ne sono parecchi.
sono circa 13 quelli propriamente notevoli, poi su alcuni testi ne aggiungono di più ma son tutti riconducibili ad altri già visti
Vedrai che facendo esercizi, ti verrà naturale
Vedrai che facendo esercizi, ti verrà naturale
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