Integrali e dintorni

[Principe2]

ho saputo una cosa sconvolgente... forse banale.. però nessuno me lo aveva mai detto... cosa significa che una funzione non è integrabile in senso elementare? io credevo che una sua primitiva fosse che ne so x^sinx^lnx - 1/arcsinx... e quindi come trovarla?! invece no! significa che non esiste una sua forma analitica!! lo spiego se qualcuno che dovesse leggere questo topic non capisse. una primitiva di 1/x è ovviamente lnx, ora, lnx è definita come l'inversa di e^x: cosa è e^x??.. è una funzione che abbiamo definito noi, ma di cui non esiste altra rappresentazione analitica.. se noi non avessimo definito la funzione e^x, pur sapendo che 1/x è integrabile, non avremmo potuto integrarla... pazzesco!!

ciao, ubermensch

[Legolas87]

citazione:

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significa che una funzione non è integrabile in senso elementare?

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per uber: vedi il topic http://www.matematicamente.it/forum/topic.asp?TOPIC_ID=1739
molte funzioni sono definite così. Pensa a tutti gli integrali di eulero (funzioni beta, gamma...)

[Maverick2]

scusa uber, non capisco bene.
se non avessimo inventato 1/x che sarebbe successo? e^x sarebbe rimasto nell'iperuranio delle funzioni? o forse il contrario? o forse non ti saresti posto il problema?
tutte le funzioni sono "inventate", che poi una sia la derivata dell'altra o viceversa non è che cambi molto.
riguardo al problema che alcune funzioni non abbiano primitive elementari beh hai mai provato a integrare sen(x^2) oppure senx/x su R? buon divertimento! (la primitiva non esiste ma l'integrale è definito)

[Camillo]

Non è esatto dire che le primitive di sin(x^2) e di sin x/x non

esistono : esistono eccome solo che noi non siamo capaci di

esprimerle in forma chiusa , il che è diverso !

Succederebbe lo stesso se non avessimo " inventato " (in realtà

definito) la funzione ln x , allora l'integrale di 1/x esisterebbe

eccome ma non sapremmo esprimerlo in forma finita (ln x); lo si

potrebbe sempre esprimere però come somma di infiniti termini.

Considero ad esempio, per semplicità : 1/(x+1).
Questa funzione può essere vista come la somma della serie geometrica

a infiniti termini (di ragione -x , con |x | < 1):
1-x+x^2-x^3+......
Quindi :
1/(x+1) = 1-x+x^2-x^3+......+[(-1)^n]*x^n+....

Se ora integro i due membri ( il secondo,termine a termine ) ottengo:

integrale di : dx/(x+1) =

x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+....+[(-1)^(n+1)]*x^n/n+....

Beh, il secondo membro non è altro che lo sviluppo di Taylor di

ln(x+1); ma io non so cosa significhi ln ! però la primitiva esiste !
ciao
Camillo