Integrali doppi su dominio circolare

[simonluca1]

salve a tutti, ho un problema generale sugli integrali il cui dominio risulta una circonferenza o parte di essa.
Ad esempio l'integrale
$\int int x dxdy$
$E={(x,y) in RR : x^2+y^2<4x-3 ; y>0}$
lasciando perdere lo svolgimento che so fare, se io faccio il cambio di coordinate usando come trasformate
$\{(rhosinvartheta = y),(rhocosvartheta + 2 = x):}$
ottengo $\rho$ che varia tra 0 e 1, e $\vartheta$ tra 0 e $\pi$.
Fin qui nessun problema, senonchè in altri integrali doppi che ho svolto, di cui mi dava lo svolgimento, in alcuni casi divide semplicemente il dominio a metà, per poi moltiplicare il risultato finale per 2. Ho provato ad applicarlo a questo caso ma il risultato non mi torna, devo integrare su tutto il dominio. La mia domanda è, quando posso o devo dividere il dominio, e quando non devo farlo, perchè ho incontrato anche integrali(sempre parlando di domini circolari o corone,ecc.ecc.) in cui mantenevo tutto il dominio, e non mi venivano, e andando a controllare lo svolgimento veniva diviso il dominio.

[simonluca1]

Ti ringrazio ben gentile.