Integrali doppi su domini non limitati e cambio di variabili

[chikko04]

ecco gli integrali incriminati:

$ int int_(c)^() x|y| dx dxy $ dove C=[ $ x geq 0 $ ; $ |y| leq e^-x $ ]

Per il libro il risultato deve essere 1/4 a me viene calcolato solo per le x>0 x^2/4 e se x--> OO fa infinito!
Come procedere?

altro tipo di integrale, qui sicuramente avrò fatto qualche errore io ma per capire se di calcolo o concetto ho bisogno del vostro aiuto:

$ int int_(C)^()x^2(1+x^2y) dx dxy $ con C=[ corona circolare di centro (0,0)e r=1 e r=2 ]

effettuo il cambio di coordinate ed ottengo due integrali uno con ro cubo e cos^2 di teta e un altro con ro alla sesta cos ^4 di teta per sen teta,
ora il primo integrale mi viene 15/4 pi e l'altro -127/35, il problema sta nel fatto che dovrebbe venire 15/4 pi!

[ciampax]

Nel primo caso, l'integrale diventa effettivamente

[tex]$\int_0^{+\infty}\int_{-e^{-x}}^{e^{-x}} x|y|\ dy\ dx$[/tex]

Prima di procedere a calcolarlo, osserva che dalla limitazione per la $y$ si ha pure $|y|
[tex]$\iint_C x|y|\ dx\dy\le\iint_C x e^{-x}\ dx\ dy=\int_{-1}^1\int_0^{+\infty} x e^{-x}\ dx\ dy=2\int_0^{+\infty} x e^{-x}\ dx$[/tex]

e l'ultimo integrale scritto converge (puoi verificarlo facilmente con il criterio del confronto). Per calcolare allora l'integrale puoi scriverlo così:

[tex]$\lim_{a\to+\infty}\int_0^a x\left(\int_{-e^{-x}}^0 -y\ dy+\int_0^{e^{-x}} y\ dy\right)\ dx$[/tex]

Per il secondo, con il cambio di variabili $x=\rho\cos\theta,\ y=\rho\sin\theta$ si ha $1\le\rho\le 2$ e $0\le\theta\le 2\pi$ da cui

[tex]$\int_1^2\int_0^{2\pi} \left[\rho^2\cos^2\theta(1+\rho^3\cos^2\theta\sin\theta)\right]\rho\ d\theta\ d\rho$[/tex]