Integrali doppi generalizzati
Buongiorno a tutti..
Più leggo il libro (Analisi Matematica 2 Bramanati-Pagani-Salsa PAG.276-278) più trovo difficoltà a trovare delle regole generali per la risoluzione di integrali doppi generalizzati. A lezione abbiamo solo affrontato tipi di integrali la cui convergenza era dimostrabile analiticamente calcolando effettivamente il valore dell'integrale in funzione di un parametro di cui fare il limite a $ + oo $ (scusate se uso una terminologia molto "pratica").
Tuttavia in alcuni esercizi mi viene esplicitamente chiesto lo studio della convergenza o divergenza senza il calcolo analitico, che d'altra parte sarebbe difficile da effettuare; come ci si comporta in questi casi? Ho provato a cercare anche sulla vecchia edizione del libro che uso ma anche li nulla.. e su internet quello che ho trovato mi convince poco.. Suggerimenti sul da dove iniziare ad affrontare questo tipo di esercizi?
Più leggo il libro (Analisi Matematica 2 Bramanati-Pagani-Salsa PAG.276-278) più trovo difficoltà a trovare delle regole generali per la risoluzione di integrali doppi generalizzati. A lezione abbiamo solo affrontato tipi di integrali la cui convergenza era dimostrabile analiticamente calcolando effettivamente il valore dell'integrale in funzione di un parametro di cui fare il limite a $ + oo $ (scusate se uso una terminologia molto "pratica").
Tuttavia in alcuni esercizi mi viene esplicitamente chiesto lo studio della convergenza o divergenza senza il calcolo analitico, che d'altra parte sarebbe difficile da effettuare; come ci si comporta in questi casi? Ho provato a cercare anche sulla vecchia edizione del libro che uso ma anche li nulla.. e su internet quello che ho trovato mi convince poco.. Suggerimenti sul da dove iniziare ad affrontare questo tipo di esercizi?
Risposte
Questi sono esercizi molto importanti ma che sui libri (con i quali ho avuto a che fare) sono inspiegabilmente trattati molto poco. I metodi in generale sono due: confronto con integrali noti e cambiamento di variabile per ricondursi ad integrali in una dimensione. Rispetto al caso monodimensionale il grande assente è il "confronto asintotico". Se ho un po' di tempo provo a spiegarti meglio. Nel frattempo puoi postare qualche esercizio, così chi volesse aiutarti ha a disposizione qualcosa di concreto.
Grazie della risposta, inizierò a documentarmi..
Un esempio di esercizio di questo tipo che ho trovato è:
$ int int_(D)^() \actg(1+x^2y^2) sin(1/(x^2+y^2)^3) dx \ dxy $
con $ D={x^2+y^2>1 } $
allora vedendo che il dominio aveva simmetria radiale, non venendomi altre idee effettuo il passaggio in coordinate polari e in particolare ho:
$x= rho cos(theta)$
$y= rho sin(theta)$
con
$0<= theta <= 2 pi$
$rho > 1$
arrivo alla conclusione che l integrale da studiare dovrebbe essere
$ lim_(k -> +oo) int int_(1)^(+oo) \ arctg (1+ rho^4 cos^2 (theta) sin^2(theta)) sin(1/rho^6) rho d theta \ d rho $
sicchè ho iniziato a ragionare sui termini:
l'arctg di una quantità che tende a $+oo$ dovrebbe essere convergente a $pi / 2$, però non sono sicuro che questo approccio in generale sia corretto..
Un esempio di esercizio di questo tipo che ho trovato è:
$ int int_(D)^() \actg(1+x^2y^2) sin(1/(x^2+y^2)^3) dx \ dxy $
con $ D={x^2+y^2>1 } $
allora vedendo che il dominio aveva simmetria radiale, non venendomi altre idee effettuo il passaggio in coordinate polari e in particolare ho:
$x= rho cos(theta)$
$y= rho sin(theta)$
con
$0<= theta <= 2 pi$
$rho > 1$
arrivo alla conclusione che l integrale da studiare dovrebbe essere
$ lim_(k -> +oo) int int_(1)^(+oo) \ arctg (1+ rho^4 cos^2 (theta) sin^2(theta)) sin(1/rho^6) rho d theta \ d rho $
sicchè ho iniziato a ragionare sui termini:
l'arctg di una quantità che tende a $+oo$ dovrebbe essere convergente a $pi / 2$, però non sono sicuro che questo approccio in generale sia corretto..
piccolo up solo per dire che sono andato da un professore di un altro corso per chiedere spiegazioni circa proprio l integrale postato precedentemente.. Queste le sue spiegazioni:
"l'integrale converge perché:
-a $+oo$ l'$arctg$ converge
- a $+oo$ il $sin$ può essere approssimato con il suo argomento (e onestamente questo non mi torna..), veniva $x^(alpha)$ con $alpha > 2 $
e non era necessario fare il passaggio in coordinate polari perchè era evidente.."
non sono stato li a cercare spiegazioni supplementari perché per usare un eufemismo, mi ha fatto gentile concessione e non era molto disposto al protrarsi della conversazione. Ad ogni modo io sul libro questo tipo di approccio non l'ho visto. Attendo fiducioso risposte
"l'integrale converge perché:
-a $+oo$ l'$arctg$ converge
- a $+oo$ il $sin$ può essere approssimato con il suo argomento (e onestamente questo non mi torna..), veniva $x^(alpha)$ con $alpha > 2 $
e non era necessario fare il passaggio in coordinate polari perchè era evidente.."
non sono stato li a cercare spiegazioni supplementari perché per usare un eufemismo, mi ha fatto gentile concessione e non era molto disposto al protrarsi della conversazione. Ad ogni modo io sul libro questo tipo di approccio non l'ho visto. Attendo fiducioso risposte
Usa il fatto che $0<\arctg(t) < \frac{\pi}{2}$ per $t>0$ e $0<\sin(t) < t$ per $0
$0\le f(x,y) \le \frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{(x^2+y^2)^3}$ per ogni $(x,y)\in D$.
$0\le f(x,y) \le \frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{(x^2+y^2)^3}$ per ogni $(x,y)\in D$.
grazie della risposta
però io non mi spiego cosa abbia voluto dire l'altro professore con la frase:
"a il può essere approssimato con il suo argomento , veniva con $x^ (alpha)$ con $alpha > 2$ "
esiste una regola come nel caso unidimensionale che si rifà al confronto asintotico? Mi scuso per la mia ignoranza ma ribadisco che al mio corso non è stato trattato e sul libro non è illustrato un preciso approccio
però io non mi spiego cosa abbia voluto dire l'altro professore con la frase:
"a il può essere approssimato con il suo argomento , veniva con $x^ (alpha)$ con $alpha > 2$ "
esiste una regola come nel caso unidimensionale che si rifà al confronto asintotico? Mi scuso per la mia ignoranza ma ribadisco che al mio corso non è stato trattato e sul libro non è illustrato un preciso approccio
Per $t\to 0$ hai che $\sin(t) \sim t$.
Tuttavia, con le stime già scritte prima, ti basta vedere che la funzione $\frac{1}{(x^2+y^2)^3}$ è integrabile in $D$, e questo lo puoi stabilire facilmente passando in coordinate polari.
Tuttavia, con le stime già scritte prima, ti basta vedere che la funzione $\frac{1}{(x^2+y^2)^3}$ è integrabile in $D$, e questo lo puoi stabilire facilmente passando in coordinate polari.
Uhm.. grazie della risposta.. 
Ma quindi "procedimenti standard" per determinare la convergenza o divergenza in generale quali sarebbero? 
Ma quindi "procedimenti standard" per determinare la convergenza o divergenza in generale quali sarebbero?
Tipicamente si usa il criterio del confronto:
- se $|f| \le g$ in $D$ e $g$ è integrabile in $D$, allora anche $f$ lo è;
- se $0\le f\le g$ in $D$ ed $f$ non è integrabile in $D$, allora anche $g$ non è integrabile.
- se $|f| \le g$ in $D$ e $g$ è integrabile in $D$, allora anche $f$ lo è;
- se $0\le f\le g$ in $D$ ed $f$ non è integrabile in $D$, allora anche $g$ non è integrabile.
Scusate se rispolvero questo topic, ma ancora le dovute conclusioni circa questo argomento non mi sono chiare.. qualche anima pia, può suggerirmi dove documentarmi?
Devo studiare la convergenza di vari integrali multipli. Ne posto uno, vorrei capire che procedimento utilizzare in generale.
[tex]\int \int \frac{\arctan^2(xy) \sin^2(xy)}{x^4+y^4}dxdy[/tex]
I domini sono
A Cerchio di raggio unitario nel primo quadrante.
B Parte esterna del cerchio unitario.
Poi ci sono altri domini piu complicati.
Intanto qualcuno potrebbe darmi una traccia o un input per risolvere su questi due domini?
Sono passato in coordinate polari, pero poi come posso ragionare?
In 0 posso approssimare con taylor?
E all infinito?
[tex]\int \int \frac{\arctan^2(xy) \sin^2(xy)}{x^4+y^4}dxdy[/tex]
I domini sono
A Cerchio di raggio unitario nel primo quadrante.
B Parte esterna del cerchio unitario.
Poi ci sono altri domini piu complicati.
Intanto qualcuno potrebbe darmi una traccia o un input per risolvere su questi due domini?
Sono passato in coordinate polari, pero poi come posso ragionare?
In 0 posso approssimare con taylor?
E all infinito?
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