Integrali doppi e tripli?
salve, avrei un paio di domande da porvi sugli integrali doppi(calcolo di un volume) sul libro ho trovato questo esercizio che chiede di calcolare il volume del cilindroide compreso tra il piano xy (z=0) e la parte di paraboloide di equazione $z=f(x,y)=x^2+y^2-1$ che si proietta verticalmente sul dominio D $D= x^2+y^2-x=0$ quindi è una circonferenza con raggio $1/2$ ora il libro fa un cambio di cordinate(polari) e scrive il nuovo dominio che è il seguente $D=(0<=teta<=pi/2 ^^ 0<=rho<=cos(teta))$ l'argomento del coseno è ovviamente teta(non sapevo come scriverlo) ora non riesco a capire perchè ha messo $0<=rho<=cos(teta)$ perchè non c'è $1/2$ al posto di $cos(teta)$? naturalmente l'ho già risolto come un integrale triplo(per fili) e il risultato mi viene corertto, solo che vorrei capire bene ome funziona in questo caso.
vi ringrazio in anticipo.
vi ringrazio in anticipo.
Risposte
nessun suggerimento?
up
Dipende cosa intendi con [tex]$\rho$[/tex].
Se prendi [tex]$\begin{cases} x=\rho \cos \theta \\ y=\rho \sin \theta \end{cases}$[/tex] senza traslare, poiché il cerchio non è centrato nell'origine, il raggio varierà in dipendenza dell'angolo (fatti un disegno e lo vedi subito).
E questo lo vedi anche sostituendo nella disequazione che definisce il tuo dominio (che immagino sia [tex]$x^2+y^2-x \leq 0$[/tex]; con l'uguaglianza prenderesti solo la circonferenza e non tutto il cerchio, e un tale insieme avrebbe misura nulla, essendo la frontiera di un dominio regolare):
[tex]$\rho^2-\rho \cos \theta \leq 0 \Leftrightarrow \rho(\rho-\cos \theta) \leq 0$[/tex], tenendo conto che [tex]$\rho \geq 0$[/tex].
Io preferirei traslare: [tex]$\begin{cases} x= x_0 + \rho \cos \theta \\ y=y_0 + \rho \sin \theta \end{cases}$[/tex] dove [tex]$(x_0,y_0)$[/tex] è il centro della circonferenza di equazione [tex]$x^2+y^2-x=0$[/tex]. In tal caso, il dominio è quel che hai detto tu.
Ps.: per l'angolo scrivi \theta
Se prendi [tex]$\begin{cases} x=\rho \cos \theta \\ y=\rho \sin \theta \end{cases}$[/tex] senza traslare, poiché il cerchio non è centrato nell'origine, il raggio varierà in dipendenza dell'angolo (fatti un disegno e lo vedi subito).
E questo lo vedi anche sostituendo nella disequazione che definisce il tuo dominio (che immagino sia [tex]$x^2+y^2-x \leq 0$[/tex]; con l'uguaglianza prenderesti solo la circonferenza e non tutto il cerchio, e un tale insieme avrebbe misura nulla, essendo la frontiera di un dominio regolare):
[tex]$\rho^2-\rho \cos \theta \leq 0 \Leftrightarrow \rho(\rho-\cos \theta) \leq 0$[/tex], tenendo conto che [tex]$\rho \geq 0$[/tex].
Io preferirei traslare: [tex]$\begin{cases} x= x_0 + \rho \cos \theta \\ y=y_0 + \rho \sin \theta \end{cases}$[/tex] dove [tex]$(x_0,y_0)$[/tex] è il centro della circonferenza di equazione [tex]$x^2+y^2-x=0$[/tex]. In tal caso, il dominio è quel che hai detto tu.
Ps.: per l'angolo scrivi \theta
grazie mille antimus..aspettavo da un paio di giorni ormai una risposta chiara come la tua, avevo giù pensato al discorso che proponi ma non mi sono sbilanciato volendo sentire il consiglio di esperti...comunque tu lo risolveresti come integrale doppo o triplo?
Io lo risolverei come integrale triplo. Facendo l'ultima trasformazione che ho scritto, si riduce subito a un integrale semplice.
Soltanto una cosa che non avevo notato prima: l'angolo è compreso fra $0$ e $2\pi$, non $\frac{\pi}{2}$, altrimenti prendi solo un quarto di cerchio. C'è qualche limitazione sul dominio $D$?
Soltanto una cosa che non avevo notato prima: l'angolo è compreso fra $0$ e $2\pi$, non $\frac{\pi}{2}$, altrimenti prendi solo un quarto di cerchio. C'è qualche limitazione sul dominio $D$?
si molto probabilmente, ora non ho in mano l'esercizio ma penso che ci sia un$x>=0$ (probabilmente) comunque il libro lo risolve come integrale doppio considerando come $f(x,y)$ il vincolo (paraboloide), il ragionamento è lo stesso che si fa per l'integrazione per fili. mentre per strati come imposteresti il domionio e l'integrale?
Sì, infatti fare l'integrale doppio di quella funzione equivale a fare l'integrale triplo sul cilindroide.
Comunque, la sezione del cilindroide al variare della quota è data [tex]$S_z=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | (x+1/2)^2+y^2 \leq 1/2, x^2+y^2 \leq z+1\}$[/tex]
Si tratta di calcolare [tex]$A(z)=\int \int _{S_z} dxdy$[/tex], che verrà in funzione di [tex]$z$[/tex].
Dopodiché integri fra la quota minima e quella massima: [tex]$I=\int^0_{-1} A(z) dz$[/tex] è un integrale semplice; ovviamente il volume è [tex]$V=|I|$[/tex].
Comunque, la sezione del cilindroide al variare della quota è data [tex]$S_z=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | (x+1/2)^2+y^2 \leq 1/2, x^2+y^2 \leq z+1\}$[/tex]
Si tratta di calcolare [tex]$A(z)=\int \int _{S_z} dxdy$[/tex], che verrà in funzione di [tex]$z$[/tex].
Dopodiché integri fra la quota minima e quella massima: [tex]$I=\int^0_{-1} A(z) dz$[/tex] è un integrale semplice; ovviamente il volume è [tex]$V=|I|$[/tex].
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