Integrali doppi con formule Gauss-Green

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Salve ragazzi , vi scrivo per risolvere un dubbio inerente lo svolgimento di un integrale doppio attraverso le formule di Gauss-Green proposto dal mio libro di Analisi 2.
L'esercizio e lo svolgimento proposti dal libro ( tasto destro + "visualizza immagine " , altrimenti vedrete le foto enormi )




Il libro ricorre all'utilizzo delle Formule di Gauss-Green , riducendo quindi l'integrale a un integrale curvilineo esteso alla frontiera .Suddividendo la frontiera in tre curve , si può quindi considerare tale integrale curvilineo esteso alla frontiera come la somma di tre integrali curvilinei estesi alle tre curve (in realtà ne sono due in quanto un integrale è identicamente nullo) .
Fin qui tutto chiaro
Il mio dubbio sorge nel passo finale , quando il libro risolve i due integrali curvilinei .
Il libro utilizza la formula di risoluzione di integrali curvilinei per forme differenziali ,ma io mi chiedo : perchè non utilizza la formula di riduzione di integrali curvilinei per le funzioni??
L'integrando non è una funzione ?
Grazie mille a chi mi risponderà

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Qualcuno che mi aiuti?

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Ragazzi nessuno nessuno può aiutarmi? Per favore