Integrali doppi con coordinate polari
Salve a tutti!!
Avrei bisogno di un chiarimento riguardo la risoluzione degli integrali doppi mediante l'uso di coordinate polari. Praticamente non ho capito come individuare il nuovo dominio una volta effettuata la sostituzione (x=ρcosθ,y=ρsenθ) . Se ad esempio consideriamo questo integrale:
\[\displaystyle \int_\Omega x y dx dy \]
dove \[\displaystyle \Omega = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 > 2 , x^2 + y^2 < 2x , y > 0 \} \]
come devo procedere?
Grazie mille
Avrei bisogno di un chiarimento riguardo la risoluzione degli integrali doppi mediante l'uso di coordinate polari. Praticamente non ho capito come individuare il nuovo dominio una volta effettuata la sostituzione (x=ρcosθ,y=ρsenθ) . Se ad esempio consideriamo questo integrale:
\[\displaystyle \int_\Omega x y dx dy \]
dove \[\displaystyle \Omega = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 > 2 , x^2 + y^2 < 2x , y > 0 \} \]
come devo procedere?
Grazie mille
Risposte
Comincia a scrivere qualche idea...
Inizialmente risolvevo questo tipo di integrali sempre "graficamente" : per esempio se il mio dominio è una corona circolare di centro (0,0) e raggi 1,2 allora in questo caso so che si deve semplicemente porre 1<ρ<2 e 0<θ<2π.
Nel caso poposto prima invece, praticamente per trovare la limitazione di θ a quanto ho capito devo trovare il punto di intersezione delle due circonferenze,che stando sulla prima bisettrice sarà θ=π/4. Quindi sarà: 0<θ<π/4 (e infatti dalla condizione y>0 troviamo senθ>0, quindi la limitazione di teta sembra essere giusta). Il problema è la limitazione di ρ. Mi è stato suggerito di limitarlo tra sqrt2 e 2.Ma non mi convince. Non dovrei cercare di "imporlo" sempre nelle condizioni del dominio iniziale? e il ragionamento per θ è giusto? Grazie per l'aiuto ^^
Nel caso poposto prima invece, praticamente per trovare la limitazione di θ a quanto ho capito devo trovare il punto di intersezione delle due circonferenze,che stando sulla prima bisettrice sarà θ=π/4. Quindi sarà: 0<θ<π/4 (e infatti dalla condizione y>0 troviamo senθ>0, quindi la limitazione di teta sembra essere giusta). Il problema è la limitazione di ρ. Mi è stato suggerito di limitarlo tra sqrt2 e 2.Ma non mi convince. Non dovrei cercare di "imporlo" sempre nelle condizioni del dominio iniziale? e il ragionamento per θ è giusto? Grazie per l'aiuto ^^
Ciao Sun15, anche io trovo più agevole rappresentare graficamente le condizioni per farmi una idea, in relazione al tuo esercizio mi sembra di capire questo (ma fai attenzione potrei sbagliarmi):
Nel piano $xy$
1) devo considerare il semipiano dove le y sono positive, l'asse x è escluso perchè la disuguaglianza è stretta $y>o$
2) devo considerare i punti esterni ad una circonferenza centrata nell'origine il cui raggio vale $sqrt2$, anche in questo caso la frontiera è esclusa perchè la disuguaglianza è stretta $x^2+y^2>2$
3) devo considerare i punti interni ad una circonferenza centrata in $C(1;0)$ il cui raggio vale $1$, anche qui la frontiera è esclusa perchè la disuguaglianza è stretta $x^2+y^2-2x<0$
Faccio il grafico e mi viene una regione nel piano $xy$ una figura mistilinea (abbiamo detto contorno escluso, quando andavo all'università ce lo facevano fare tratteggieto, è ancora così?) composta dalle seguenti parti:
1) un segmento appartenente all'asse x, conpreso tra l'ascissa $x=1$ e $x=2$
2)un arco della circonferenza centrata nell'aorigine conpresa tra i punti $P(1;1)$ e $P'(sqrt2;0)$
3)un arco della circonferenza centrata nel punto $C(1;0)$, compresa tra i punti $P(1;1) e P''(2; 0)$
In relazione alla nostra funzione $f(z)=xy$, mi sembra di vedere una superficie che passa per l'origine, e per gli assi x e y, mentre è positiva nei quadranti I e III, e negativa nei quadranti II e IV, è simmetrica lungo i piani perpendicolari al piano $xy$ e passanti per le bisettrici del paino.
Provo a descriverla come un lenzuolo tirato da quattro persone ciascuna in corrispondenza dellle bisettrici, quelle nei quadranti dispari tirano verso l'alto, quelle dei quadranti pari verso il basso, non so se riesco a farmi capire..
Nel piano $xy$
1) devo considerare il semipiano dove le y sono positive, l'asse x è escluso perchè la disuguaglianza è stretta $y>o$
2) devo considerare i punti esterni ad una circonferenza centrata nell'origine il cui raggio vale $sqrt2$, anche in questo caso la frontiera è esclusa perchè la disuguaglianza è stretta $x^2+y^2>2$
3) devo considerare i punti interni ad una circonferenza centrata in $C(1;0)$ il cui raggio vale $1$, anche qui la frontiera è esclusa perchè la disuguaglianza è stretta $x^2+y^2-2x<0$
Faccio il grafico e mi viene una regione nel piano $xy$ una figura mistilinea (abbiamo detto contorno escluso, quando andavo all'università ce lo facevano fare tratteggieto, è ancora così?) composta dalle seguenti parti:
1) un segmento appartenente all'asse x, conpreso tra l'ascissa $x=1$ e $x=2$
2)un arco della circonferenza centrata nell'aorigine conpresa tra i punti $P(1;1)$ e $P'(sqrt2;0)$
3)un arco della circonferenza centrata nel punto $C(1;0)$, compresa tra i punti $P(1;1) e P''(2; 0)$
In relazione alla nostra funzione $f(z)=xy$, mi sembra di vedere una superficie che passa per l'origine, e per gli assi x e y, mentre è positiva nei quadranti I e III, e negativa nei quadranti II e IV, è simmetrica lungo i piani perpendicolari al piano $xy$ e passanti per le bisettrici del paino.
Provo a descriverla come un lenzuolo tirato da quattro persone ciascuna in corrispondenza dellle bisettrici, quelle nei quadranti dispari tirano verso l'alto, quelle dei quadranti pari verso il basso, non so se riesco a farmi capire..
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