Integrali doppi cambio di variabili
Buongiorno a tutti,
Ho ripreso gli studi dopo un lungo stop e mi sto perdendo in un bicchier d'acqua e avrei bisogno di un aiutino.
La funzione da integrare è \( \int x^2 (y - x^3) e^{y+x^3} dx dy \)
L'insieme di integrazione è \( { (x,y): x^3≤y≤3 , x≥1} \)
La mia idea (e credo sia corretta) è di sostituire \( u= y-x^3\) e \( v=y+x^3 \)
Il mio problema è ricalcolare gli estremi di integrazione nelle nuove variabili, potreste darmi una mano per favore?
Dopo qualche capriola credo di essere arrivato a dire che \( u [0;2] \) ma non sono sicuro
Ringrazio in anticipo chiunque abbia voglia di rispondere
Ho ripreso gli studi dopo un lungo stop e mi sto perdendo in un bicchier d'acqua e avrei bisogno di un aiutino.
La funzione da integrare è \( \int x^2 (y - x^3) e^{y+x^3} dx dy \)
L'insieme di integrazione è \( { (x,y): x^3≤y≤3 , x≥1} \)
La mia idea (e credo sia corretta) è di sostituire \( u= y-x^3\) e \( v=y+x^3 \)
Il mio problema è ricalcolare gli estremi di integrazione nelle nuove variabili, potreste darmi una mano per favore?
Dopo qualche capriola credo di essere arrivato a dire che \( u [0;2] \) ma non sono sicuro
Ringrazio in anticipo chiunque abbia voglia di rispondere
Risposte
Ciao Kirumath, benvenut* sul forum!
Devi sostituire per forza? Perché l'integrale ha come insieme di integrazione un insieme normale rispetto all'asse $x$, ossia $x$ varia nell'intervallo $[1,\root[3]{3}]$ e $y$ varia tra due funzioni continue di $x$ (ossia, la funzione $x^3$ e la funzione costante $3$). Quindi, per le formule di riduzione, risulta:
$$\iint_{\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \ \text{t.c.} \ x^3 \le y \le 3, x \ge 1\}} x^2(y-x^3)e^{y+x^3}\text{d}x\text{d}y=\int_1^{\sqrt[3]{3}} \left(\int_{x^3}^3 x^2(y-x^3)e^{y+x^3} \text{d}y\right)\text{d}x$$
che è fattibilissimo.
Devi sostituire per forza? Perché l'integrale ha come insieme di integrazione un insieme normale rispetto all'asse $x$, ossia $x$ varia nell'intervallo $[1,\root[3]{3}]$ e $y$ varia tra due funzioni continue di $x$ (ossia, la funzione $x^3$ e la funzione costante $3$). Quindi, per le formule di riduzione, risulta:
$$\iint_{\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \ \text{t.c.} \ x^3 \le y \le 3, x \ge 1\}} x^2(y-x^3)e^{y+x^3}\text{d}x\text{d}y=\int_1^{\sqrt[3]{3}} \left(\int_{x^3}^3 x^2(y-x^3)e^{y+x^3} \text{d}y\right)\text{d}x$$
che è fattibilissimo.
Ciao Mephlip, grazie mille per la risposta.
Sì posso farlo comunque, è solo che sostituendo mi sembra di semplificare parecchio quello che è l'integrale (poi magari mi sbaglio). E in generale mi premeva capire come funzionasse il procedimento per il "ricalcolo" degli estremi di integrazione perché ho avuto altri esercizi dove appunto mi piantavo perché non riuscivo a trovarli.
Posso comunque chiedervi di darmi qualche dritta?
Sì posso farlo comunque, è solo che sostituendo mi sembra di semplificare parecchio quello che è l'integrale (poi magari mi sbaglio). E in generale mi premeva capire come funzionasse il procedimento per il "ricalcolo" degli estremi di integrazione perché ho avuto altri esercizi dove appunto mi piantavo perché non riuscivo a trovarli.
Posso comunque chiedervi di darmi qualche dritta?
Prego! Certamente. Essendo $u=y-x^3$ e osservando che $[1 \le x ] \implies [-x^3 \le -1] \implies [3-x^3 \le 2]$, si ha:
$$[x^3 \le y \le 3] \implies [0 \le y-x^3 \le 3-x^3] \implies [0 \le u \le 2]$$
e fin qui siamo d'accordo. La situazione si complica leggermente riguardo l'intervallo in cui varia $v$, ma niente di impossibile. Osserva che:
$$[x^3 \le y \le 3] \implies [2x^3 \le y+x^3 \le 3+x^3] \implies [x^3+x^3 \le v \le 3+x^3]$$
Ma, da $x \ge 1$, segue $x^3 \ge 1$ e perciò $1+y \le x^3+y=v$; inoltre, da $u=y-x^3$ e $v=y+x^3=v$, segue che $y=\frac{1}{2}(u+v)$ e perciò $1+y=1+\frac{1}{2}(u+v)$. Quindi, è $1+\frac{1}{2}(u+v)=1+y \le v$ e ciò implica $1+\frac{1}{2}(u+v) \le v$. Quest'ultima disuguaglianza implica $2+u \le v$.
Infine, dato che $[v=y+x^3] \implies [x^3=v-y] \implies [x^3=v-\frac{1}{2}(u+v)] \implies [x^3=\frac{1}{2}(v-u)]$ e che $y \le 3$, è $v=y+x^3\le 3+x^3=3+\frac{1}{2}(v-u)$. Ciò implica $v \le 3+\frac{1}{2}(v-u)$ e, nuovamente, ciò implica $v \le 6-u$.
Pertanto, dato che il modulo del determinante della matrice jacobiana corrispondente al cambio di variabili è $\frac{\left(\frac{v}{2}-\frac{u}{2}\right)^{-2/3}}{6}$, posti $A:=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ \text{tali che} \ x^3 \le y \le 3, x \ge 1\}$ e $B:=\{(u,v) \in \mathbb{R}^2 \ \text{tali che} \ 0 \le u \le 2, 2+u \le v \le 6-u\}$ si ha:
$$\iint_A x^2(y-x^3)e^{y+x^3}\text{d}x\text{d}y=\iint_B \frac{ue^v}{6}\text{d}u\text{d}v=\frac{1}{6} \int_0^2 \left(\int_{2+u}^{6-u} ue^v \text{d}v\right)\text{d}u$$
In poche parole, devi esprimere tutto in funzione di $u$ e $v$ e poi usare tutte le implicazioni provenienti dalle disuguaglianze che definiscono l'insieme di integrazione in $x$ e $y$ per determinare le disuguaglianze in $u$ e $v$. In questo caso non è successo, ma se dovessi trovare più di una disuguaglianza dall'alto o dal basso allora dovrai discutere quale è più restrittiva in base alle altre variabili in gioco (esempio: se in un altro problema ti capitassero $0 \le v \le u$, $0 \le v \le u^2$ e $0 \le u \le 2$, dovrai spezzare l'integrale nella somma di due integrali; uno con $0 \le u\le 1$ e $0 \le v \le u^2$, e l'altro con $1 \le u \le 2$ e $ 0 \le v \le u$ perché $u^2 \le u$ per $0 \le u \le 1$ e $u \le u^2$ per $1 \le u \le 2$).
$$[x^3 \le y \le 3] \implies [0 \le y-x^3 \le 3-x^3] \implies [0 \le u \le 2]$$
e fin qui siamo d'accordo. La situazione si complica leggermente riguardo l'intervallo in cui varia $v$, ma niente di impossibile. Osserva che:
$$[x^3 \le y \le 3] \implies [2x^3 \le y+x^3 \le 3+x^3] \implies [x^3+x^3 \le v \le 3+x^3]$$
Ma, da $x \ge 1$, segue $x^3 \ge 1$ e perciò $1+y \le x^3+y=v$; inoltre, da $u=y-x^3$ e $v=y+x^3=v$, segue che $y=\frac{1}{2}(u+v)$ e perciò $1+y=1+\frac{1}{2}(u+v)$. Quindi, è $1+\frac{1}{2}(u+v)=1+y \le v$ e ciò implica $1+\frac{1}{2}(u+v) \le v$. Quest'ultima disuguaglianza implica $2+u \le v$.
Infine, dato che $[v=y+x^3] \implies [x^3=v-y] \implies [x^3=v-\frac{1}{2}(u+v)] \implies [x^3=\frac{1}{2}(v-u)]$ e che $y \le 3$, è $v=y+x^3\le 3+x^3=3+\frac{1}{2}(v-u)$. Ciò implica $v \le 3+\frac{1}{2}(v-u)$ e, nuovamente, ciò implica $v \le 6-u$.
Pertanto, dato che il modulo del determinante della matrice jacobiana corrispondente al cambio di variabili è $\frac{\left(\frac{v}{2}-\frac{u}{2}\right)^{-2/3}}{6}$, posti $A:=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ \text{tali che} \ x^3 \le y \le 3, x \ge 1\}$ e $B:=\{(u,v) \in \mathbb{R}^2 \ \text{tali che} \ 0 \le u \le 2, 2+u \le v \le 6-u\}$ si ha:
$$\iint_A x^2(y-x^3)e^{y+x^3}\text{d}x\text{d}y=\iint_B \frac{ue^v}{6}\text{d}u\text{d}v=\frac{1}{6} \int_0^2 \left(\int_{2+u}^{6-u} ue^v \text{d}v\right)\text{d}u$$
In poche parole, devi esprimere tutto in funzione di $u$ e $v$ e poi usare tutte le implicazioni provenienti dalle disuguaglianze che definiscono l'insieme di integrazione in $x$ e $y$ per determinare le disuguaglianze in $u$ e $v$. In questo caso non è successo, ma se dovessi trovare più di una disuguaglianza dall'alto o dal basso allora dovrai discutere quale è più restrittiva in base alle altre variabili in gioco (esempio: se in un altro problema ti capitassero $0 \le v \le u$, $0 \le v \le u^2$ e $0 \le u \le 2$, dovrai spezzare l'integrale nella somma di due integrali; uno con $0 \le u\le 1$ e $0 \le v \le u^2$, e l'altro con $1 \le u \le 2$ e $ 0 \le v \le u$ perché $u^2 \le u$ per $0 \le u \le 1$ e $u \le u^2$ per $1 \le u \le 2$).
Grazie mille!!!
Mi dimenticavo di vedere \( 2x^3 \) come \( x^3 + x^3 \)... tutto il resto mi tornava.
Ho detto che mi perdevo in un bicchier d'acqua, ma più che un bicchiere era uno shottino!
Grazie mille ancora!
Mi dimenticavo di vedere \( 2x^3 \) come \( x^3 + x^3 \)... tutto il resto mi tornava.
Ho detto che mi perdevo in un bicchier d'acqua, ma più che un bicchiere era uno shottino!
Grazie mille ancora!
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