Integrali doppi - Cambiare l'ordine di integrazione
Ho una generica funzione
$int_{-1}^3(int_{1/4x^2+2x-3}^xf(x,y)dy) dx$
Io per farlo ho trovato che:
$1/4x^2+2x-3<=y<=x$ e $-1<=x<=3$
Ho preso quindi l'equazione $1/4x^2+2x-3=0$ e l'ho risolta; se non ho sbagliato niente dovrebbe venire fuori come risultato:
$x1 = (-2-sqrt7)^2$
$x12 = (-2+sqrt7)^2$
Quindi ho detto che cambiando l'ordine di integrazione $dy dx$ --> $dxdy$ viene fuori:
$int_{-1}^3(int_{(-2-sqrt7)^2}^((-2+sqrt7)^2)f(x,y)dx) dy$
Per disgrazia, è mica giusto?? XD
Se non lo è, mi spiegate come si fa questo benedetto cambio?
$int_{-1}^3(int_{1/4x^2+2x-3}^xf(x,y)dy) dx$
Io per farlo ho trovato che:
$1/4x^2+2x-3<=y<=x$ e $-1<=x<=3$
Ho preso quindi l'equazione $1/4x^2+2x-3=0$ e l'ho risolta; se non ho sbagliato niente dovrebbe venire fuori come risultato:
$x1 = (-2-sqrt7)^2$
$x12 = (-2+sqrt7)^2$
Quindi ho detto che cambiando l'ordine di integrazione $dy dx$ --> $dxdy$ viene fuori:
$int_{-1}^3(int_{(-2-sqrt7)^2}^((-2+sqrt7)^2)f(x,y)dx) dy$
Per disgrazia, è mica giusto?? XD
Se non lo è, mi spiegate come si fa questo benedetto cambio?
Risposte
Per disgrazia, proprio no XD
Sei fuori strada, quindi ti guido con precisione.
Disegna nel piano le curve \(y = f(x) = x\) e \(y = g(x) = \frac 1 4 x^2 + 2x - 3\) nell'intervallo \(-1 \le x \le 3\).
L'intervallo di integrazione è il pezzo di piano compreso tra le due curve, infatti l'integrale doppio ti sta dicendo che, mentre \(x\) si muove tra \(-1\) e \(3\), \(y\) si muove da una curva all'altra.
Cambiare l'ordine di integrazione significa descrivere lo stesso insieme di integrazione ma "nel verso opposto".
In questo caso, allora, dovrai assegnare ad \(y\) un intervallo fisso da percorrere, che sarà l'intervallo \([\min(f(-1), g(-1)), \max(f(3), g(3))]\), e ad \(x\) l'intervallo compreso tra le due curve, i cui estremi puoi esprimere ricavando \(x = x(y)\).
Chiaro?
P.s. Fai attenzione al punto in cui le curve si intersecano, perché poi avrai un intervallo di integrazione "all'indietro"!
Sei fuori strada, quindi ti guido con precisione.
Disegna nel piano le curve \(y = f(x) = x\) e \(y = g(x) = \frac 1 4 x^2 + 2x - 3\) nell'intervallo \(-1 \le x \le 3\).
L'intervallo di integrazione è il pezzo di piano compreso tra le due curve, infatti l'integrale doppio ti sta dicendo che, mentre \(x\) si muove tra \(-1\) e \(3\), \(y\) si muove da una curva all'altra.
Cambiare l'ordine di integrazione significa descrivere lo stesso insieme di integrazione ma "nel verso opposto".
In questo caso, allora, dovrai assegnare ad \(y\) un intervallo fisso da percorrere, che sarà l'intervallo \([\min(f(-1), g(-1)), \max(f(3), g(3))]\), e ad \(x\) l'intervallo compreso tra le due curve, i cui estremi puoi esprimere ricavando \(x = x(y)\).
Chiaro?
P.s. Fai attenzione al punto in cui le curve si intersecano, perché poi avrai un intervallo di integrazione "all'indietro"!
Cioè io dovrei disegnare precisamente il grafico e da ciò vedere i punti?? Ahahahah! So che la prima è la bisettrice 1°-3° quadrante e l'altra è una parabola, ma senza un bel plotter non riuscirei a trovare in fretta i punti xD sono un cane a fare dei grafici. xD
Comunque, se non ho capito male, gli estremi in questo caso in $dy$ dovrebbero essere $(-19/4, 21/4$)? O è di nuovo una cazzata? XD
Non ho capito invece come ricavare l'intervallo di $dx$. Avevo capito anch'io che è l'intervallo compreso tra le due curve, quindi gli estremi sono (curva_più_bassa, curva_più_alta)?
Comunque, se non ho capito male, gli estremi in questo caso in $dy$ dovrebbero essere $(-19/4, 21/4$)? O è di nuovo una cazzata? XD
Non ho capito invece come ricavare l'intervallo di $dx$. Avevo capito anch'io che è l'intervallo compreso tra le due curve, quindi gli estremi sono (curva_più_bassa, curva_più_alta)?
Non so se i numeri siano giusti, fai i conti giusti e troverai i numeri giusti.
Per gli estremi della \(x\), non devi fare "curva alta vs curva bassa", ma "curva a sinistra vs curva a destra" [cioè, dalle \(x\) minori a quelle maggiori].
Per gli estremi della \(x\), non devi fare "curva alta vs curva bassa", ma "curva a sinistra vs curva a destra" [cioè, dalle \(x\) minori a quelle maggiori].
Ma dall'origine o dall'inizio in cui si intersecano? Perchè l'intervallo sta nel primo-terzo quadrante. Tutte quelle che abbiamo fatto non sono mai state curve del genere perchè stavano sempre sull'asse, mentre questa no.
Da una curva all'altra!
Quello che devi fare quando integri è dare "una ricetta" per percorrere tutto il dominio di integrazione.
Nel primo caso era
Quello che devi fare quando integri è dare "una ricetta" per percorrere tutto il dominio di integrazione.
Nel primo caso era
- [*:e9crol0e] percorri le ascisse da \(-1\) a \(3\)[/*:m:e9crol0e]
[*:e9crol0e] per ogni \(x\), percorri le ordinate da \(\frac 1 4 x^2 +2x-3\) a \(x\).[/*:m:e9crol0e][/list:u:e9crol0e]
Adesso devi fare la stessa cosa, però facendo variare prima le \(y\) e poi le \(x\) di conseguenza.
Si, si questo l'avevo già capito
Quindi $dx$ va da $1/4x^2+2x−3$ a $x$? O_o
Mi hai detto che l'intervallo in $y$ si trova con $[min(f(−1),g(−1)),max(f(3),g(3))]$ quindi ok, ho fatto f(-1) e g(-1) e ho guardato quale dei due era il minore; idem per il massimo.
Ma per $x$ ho capito che va da una curva all'altra, mi hai detto $x=x(y)$ quindi devo fare $x(1/4x^2+2x−3)$? Non capisco...Scusa xD
Quindi $dx$ va da $1/4x^2+2x−3$ a $x$? O_o
Mi hai detto che l'intervallo in $y$ si trova con $[min(f(−1),g(−1)),max(f(3),g(3))]$ quindi ok, ho fatto f(-1) e g(-1) e ho guardato quale dei due era il minore; idem per il massimo.
Ma per $x$ ho capito che va da una curva all'altra, mi hai detto $x=x(y)$ quindi devo fare $x(1/4x^2+2x−3)$? Non capisco...Scusa xD
No, l'intervallo in cui varia \(x\) non può dipendere da \(x\) stessa!
Quando ti ho detto di calcolare \(x = x(y)\) intendevo dire che devi prendere le relazioni della forma \(y = f(x)\) ed invertirle, ricavando \(x = f^{-1}(y)\). A quel punto avrai gli estremi di variazione di \(x\) dipendenti da \(y\): questo è accettabile perché l'integrale in \(x\) è quello interno, e quindi ogni volta che integri in \(x\) hai già fissato \(y\), e con esso anche gli estremi di integrazione.
Clear?
Quando ti ho detto di calcolare \(x = x(y)\) intendevo dire che devi prendere le relazioni della forma \(y = f(x)\) ed invertirle, ricavando \(x = f^{-1}(y)\). A quel punto avrai gli estremi di variazione di \(x\) dipendenti da \(y\): questo è accettabile perché l'integrale in \(x\) è quello interno, e quindi ogni volta che integri in \(x\) hai già fissato \(y\), e con esso anche gli estremi di integrazione.
Clear?
Insomma...
Quindi devo prendere $x = 4-2*sqrt(y+7)$ e $x = 2*sqrt(y+7)+4$?
Quindi devo prendere $x = 4-2*sqrt(y+7)$ e $x = 2*sqrt(y+7)+4$?
No, ancora non ci siamo.
Ti consiglio di ristudiare meglio questo pezzo e guardare qualche esercizio svolto per chiarirti le idee.
Ti consiglio di ristudiare meglio questo pezzo e guardare qualche esercizio svolto per chiarirti le idee.
Non l'abbiamo proprio fatto come teoria e abbiamo solo fatto un esercizio dove come estremi c'erano delle curve semplici.
Sul libro non c'è.
Questo qui ce lo aveva lasciato da fare per casa, chi voleva.
Vabbè grazie per la disponibilità! Chiederò a lei domani mattina! ^^
Sul libro non c'è.
Questo qui ce lo aveva lasciato da fare per casa, chi voleva.
Vabbè grazie per la disponibilità! Chiederò a lei domani mattina! ^^
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