Integrali doppi
Ciao a tutti avrei bisogno della vostra collaborazione per risolvere questo integrale doppio alquanto difficile
ecco il testo e poi vi dico come l'ho fatto
Calcolare l'integrale doppio
$\int int (xy)/(x^2+y^2) dx dy$
sull'insieme D di integrazione
$D={(x,y) in RR^2 : 16<=x^2+y^2<=32 , 2 sqrt(2)<=x<=sqrt(3) y}$
io ho provato in vari modi
quello che mi è sembrato più immediato è stato di utilizzare le coordinate polari
e mi veniva facile trovare gli estremi di $\rho$
$4<=\rho<=4sqrt(2)$
ma ho trovato invece difficoltà a trovare gli estremi dell'angolo $\theta$
facendomi anche la figura non capivo come far variare gli estremi di integrazione
che idea vi siete fatti voi
ecco il testo e poi vi dico come l'ho fatto
Calcolare l'integrale doppio
$\int int (xy)/(x^2+y^2) dx dy$
sull'insieme D di integrazione
$D={(x,y) in RR^2 : 16<=x^2+y^2<=32 , 2 sqrt(2)<=x<=sqrt(3) y}$
io ho provato in vari modi
quello che mi è sembrato più immediato è stato di utilizzare le coordinate polari
e mi veniva facile trovare gli estremi di $\rho$
$4<=\rho<=4sqrt(2)$
ma ho trovato invece difficoltà a trovare gli estremi dell'angolo $\theta$
facendomi anche la figura non capivo come far variare gli estremi di integrazione
che idea vi siete fatti voi
Risposte
@maschulillo: Il maiuscolo dal titolo, please...
Una domanda: la seconda condizione è quella che hai scritto? Se è così, sei all'interno della corona circolare di raggi $4$ e $4\sqrt{2}$ e devi scegliere tutti i valori a destra della retta (parallela all'asse delle $y$) [tex]$x=2\sqrt{2}$[/tex] e mantenerti "sopra" la retta [tex]$y=\frac{x}{\sqrt{3}}$[/tex]. Per determinare gli intervalli in cui varia l'angolo $\theta$ ti basterà calcolare i punti di intersezione tra queste rette e le circonferenze ed usare un po' di trigonometria per determinare i valori estremi.
scusa non ho capito molto bene
non è che potresti essere più esplicito
magari scrivendo gli estremi facendo una piccola bozza iniziale di come si potrebbe risolvere?
potresti fare almeno l'impostazione? dico per capire meglio
ti ringrazio
non è che potresti essere più esplicito
magari scrivendo gli estremi facendo una piccola bozza iniziale di come si potrebbe risolvere?
potresti fare almeno l'impostazione? dico per capire meglio
ti ringrazio
Ma un disegno te lo sei fatto o no?
si mi sono fatto il disegno per bene
con righello e compasso
ho fatto tutte le intersezioni ma non riesco a capire come si trovino gli angoli
con righello e compasso
ho fatto tutte le intersezioni ma non riesco a capire come si trovino gli angoli
il risultato deve essere
$3 - 2log2$
$3 - 2log2$
ora è solo questione di trigonometria. devi trovare l'angolo partendo da semplici considerazioni sulla tangente.
infatti ho trovato che l'angolo è compreso tra questi due estremi
$\pi/6<=\theta<=\pi/2$
ma se invece
$4<=\rho<=4sqrt(2)$
il risultato non viene
ho provato anche a cambiare gli estremi di $\rho$
per $(2sqrt(2))/cos(\theta)<=\rho<=4sqrt(2)$
e gli angoli come prima, ma il risultato stavolta viene simile a quello che deve venire ma non è esatto
allora come posso risolvere?
$\pi/6<=\theta<=\pi/2$
ma se invece
$4<=\rho<=4sqrt(2)$
il risultato non viene
ho provato anche a cambiare gli estremi di $\rho$
per $(2sqrt(2))/cos(\theta)<=\rho<=4sqrt(2)$
e gli angoli come prima, ma il risultato stavolta viene simile a quello che deve venire ma non è esatto
allora come posso risolvere?
Stai sbagliando. Se guardi attentamente il disegno, ti accorgerai che dovrai separare il dominio in due parti, determinate al modo seguente
[tex]$D_1=\left\{(\rho,\theta)\ :\ 4\le \rho\le 4\sqrt{2},\ \frac{\pi}{6}\le\theta\le\frac{\pi}{4}\right\},\qquad D_2=\left\{(\rho,\theta)\ :\ \frac{2\sqrt{2}}{\cos\theta}\le\rho\le 4\sqrt{2},\ \frac{\pi}{4}\le\theta\le\frac{\pi}{3}\right\}$[/tex]
[tex]$D_1=\left\{(\rho,\theta)\ :\ 4\le \rho\le 4\sqrt{2},\ \frac{\pi}{6}\le\theta\le\frac{\pi}{4}\right\},\qquad D_2=\left\{(\rho,\theta)\ :\ \frac{2\sqrt{2}}{\cos\theta}\le\rho\le 4\sqrt{2},\ \frac{\pi}{4}\le\theta\le\frac{\pi}{3}\right\}$[/tex]
come hai fatto a trovare il secondo dominio?
potresti essere più esplicito
e farmi vedere qualche calcolo o impostazione per suddividere i domini
te ne sarei molto grato
potresti essere più esplicito
e farmi vedere qualche calcolo o impostazione per suddividere i domini
te ne sarei molto grato
Considera la figura seguente:
Uploaded with ImageShack.us
Il dominio che cerchi è quello compreso tra le due rette blu e verde all'interno della corona circolare. Per determinare il primo pezzo del dominio, interseca una delle circonferenze con la retta (verde) di equazione [tex]$x=\sqrt{3} y$[/tex]: il punto di intersezione con la prima circonferenza risulta avere coordinate [tex]$A(2\sqrt{3},2)$[/tex]. Interseca poi la seconda retta (blu) di equazione [tex]$x=2\sqrt{2}$[/tex] con la circonferenza più piccola per ottenere il punto [tex]$B(2\sqrt{2},2\sqrt{2})$[/tex]. I valori angolari corrispondenti a tali punti sono [tex]$\theta_A=\frac{\pi}{6},\ \theta_B=\frac{\pi}{4}$[/tex] e in questo modo abbiamo determinato il primo pezzo (quello della corona circolare compreso tra le rette verde e gialla).
Per determinare il secondo pezzo, osserva che le condizioni scritte in forma polare diventano
[tex]$4\le\rho\le 4\sqrt{2},\quad 2\sqrt{2}\le \rho\cos\theta\le\rho\sqrt{3}\sin\theta$[/tex]
La seconda condizione impone che [tex]$\frac{2\sqrt{2}}{\cos\theta}\le\rho\le4\sqrt{2}$[/tex] (in quanto il raggio è costretto ad essere sempre maggiore della quantità scritta e minore del raggio della circonferenza più grande). Per determinare l'estremo dell'angolo, interseca la retta blu con la circonferenza più grande ottenendo il punto [tex]$C(2\sqrt{2},2\sqrt{6})$[/tex] il cui valore angolare corrispondente risulta [tex]$\theta_c=\frac{\pi}{3}$[/tex].
Spero sia chiaro.
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Il dominio che cerchi è quello compreso tra le due rette blu e verde all'interno della corona circolare. Per determinare il primo pezzo del dominio, interseca una delle circonferenze con la retta (verde) di equazione [tex]$x=\sqrt{3} y$[/tex]: il punto di intersezione con la prima circonferenza risulta avere coordinate [tex]$A(2\sqrt{3},2)$[/tex]. Interseca poi la seconda retta (blu) di equazione [tex]$x=2\sqrt{2}$[/tex] con la circonferenza più piccola per ottenere il punto [tex]$B(2\sqrt{2},2\sqrt{2})$[/tex]. I valori angolari corrispondenti a tali punti sono [tex]$\theta_A=\frac{\pi}{6},\ \theta_B=\frac{\pi}{4}$[/tex] e in questo modo abbiamo determinato il primo pezzo (quello della corona circolare compreso tra le rette verde e gialla).
Per determinare il secondo pezzo, osserva che le condizioni scritte in forma polare diventano
[tex]$4\le\rho\le 4\sqrt{2},\quad 2\sqrt{2}\le \rho\cos\theta\le\rho\sqrt{3}\sin\theta$[/tex]
La seconda condizione impone che [tex]$\frac{2\sqrt{2}}{\cos\theta}\le\rho\le4\sqrt{2}$[/tex] (in quanto il raggio è costretto ad essere sempre maggiore della quantità scritta e minore del raggio della circonferenza più grande). Per determinare l'estremo dell'angolo, interseca la retta blu con la circonferenza più grande ottenendo il punto [tex]$C(2\sqrt{2},2\sqrt{6})$[/tex] il cui valore angolare corrispondente risulta [tex]$\theta_c=\frac{\pi}{3}$[/tex].
Spero sia chiaro.
ho capito
grazie ancora
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