Integrali doppi

[d@ni89-votailprof]

Ciao a tutti volevo sapere con che criterio si risolvono gli integrali doppi con qualche esempio se è possibile.......Grazie mille

[Mathcrazy]

Molto utile è la formula di riduzione degli integrali doppi.
Supponi di avere una funzione $f: D->R$, dove $D$ è un dominio normale, ad esempio rispetto all'asse $x$.

NB: Un dominio si dice normale rispetto all'asse $x$ $hArr$ :
$EE \alpha;\beta : [a,b] -> R$ due funzioni, tali che $AAx$ $:$ $\alpha(x)<=\beta(x)$ e
$D = {(x,y) in R^2 |$ $a<=x<=b$ $;$ $\alpha (x)<=y<= \beta(x)}$

Allora possiamo concludere che:
$ int int_(D) f(x,y) \ dx \ dy = int_(a)^(b) int_(\alpha(x))^(\beta(x)) [f(x,y)\ dy] \ dx $

Cioè deriviamo prima rispetto a $y$ e poi rispetto a $x$, e questo è molto comodo, nella risoluzione degli integrali doppi.

Ti faccio subito un esempio, per chiarirti le idee:

Consideriamo l'integrale doppio:

$ int int_(D) y*sqrt(x^2+y^2) \ dx \ dy $
dove $D={(x,y) in R^2 |$ $0<=x<=1$ $;$ $0<=y<= x}$

Allora:

$ int int_(D) y*sqrt(x^2+y^2) \ dx \ dy = int_(0)^(1) int_(0)^(x) [y*sqrt(x^2+y^2)\ dy] \ dx$

Prima risolviamo l'integrale più interno rispetto ad $y$ e poi passiamo a quello più esterno.
Per risolvere quello interno, ho una forma immediata, però devo moltiplicare e dividere per $2$

$int_(0)^(1) int_(0)^(x) [y*sqrt(x^2+y^2)\ dy] \ dx$ $=$ $1/2* int_(0)^(1) int_(0)^(x) [2y*sqrt(x^2+y^2)\ dy] \ dx$ $ =$

$1/2* int_(0)^(1) 2/3* [(x^2+y^2)^(3/2)]_(0)^(x) \ dx =$

$1/3* int_(0)^(1) [(2x^2)^(3/2) - (x^2)^(3/2)] \ dx =$ $1/3* int_(0)^(1) (2sqrt(2)*x^3 - x^3) \ dx =$ $1/3* int_(0)^(1) (2sqrt(2)-1)*x^3 \ dx =$

$(2sqrt(2)-1)/3* int_(0)^(1) x^3 \ dx =$

Integriamo rispetto a $x$:

$(2sqrt(2)-1)/3 * [x^4/4]_(0)^(1)$ $=$ $(2sqrt(2)-1)/18$

Come avrai notato, non è poi così difficile, però serve fare attenzione alla definizione del dominio; perché nell'esempio che ti ho proposto era già definito, ma nella maggior parte dei casi devi stabilire tu se prenderlo normale rispetto a $x$ oppure rispetto a $y$, delle volte può convenire rispetto ad un'asse anzichè rispetto all'altra.
Tanto per capirci, supponi di voler derivare $f(x,y)= e^( (x)^{2})$; bè in questo caso nella maggior parte dei casi conviene derivare rispetto a $x$ (estremi fissi rispetto a $x$), in questo modo avrai l'integrale rispetto a $y$ banalissimo, poiché $e^( (x)^{2})$ si tradurrebbe in costante!

Forse mi sono dilungato troppo ...
Spero non averti annoiato.

[d@ni89-votailprof]

grazie mille...