Integrali doppi
ciao a tutti
avrei un dubbio e spero che possiate un pò chiarirmi le idee....
calcolare l'integrale doppio della funzione f(x,y)=xe^y esteso al dominio A racchiuso dalle curve y=x^2 e y=6-x
facendo il grafico ho potuto constatare che è normale rispetto ad x...
quindi gli estremi dell'integrale esterno saranno le due equazioni mentre per quello interno, e qui il mio, dubbio devo mettere a sistema le due rette e trovare due punti (ho calcolato 3 , -2). quindi sono questi gli estremi dell'integrale interno????
se ho sbagliato potreste gentilmente dirmi come fare???
grazie tante
avrei un dubbio e spero che possiate un pò chiarirmi le idee....
calcolare l'integrale doppio della funzione f(x,y)=xe^y esteso al dominio A racchiuso dalle curve y=x^2 e y=6-x
facendo il grafico ho potuto constatare che è normale rispetto ad x...
quindi gli estremi dell'integrale esterno saranno le due equazioni mentre per quello interno, e qui il mio, dubbio devo mettere a sistema le due rette e trovare due punti (ho calcolato 3 , -2). quindi sono questi gli estremi dell'integrale interno????
se ho sbagliato potreste gentilmente dirmi come fare???
grazie tante
Risposte
L'idea è giusta, solo che dovresti curare un po' di più l'esposizione.
Insomma, se [tex]$A$[/tex] è il tuo dominio normale ad [tex]$x$[/tex] delimitato dai grafici delle funzioni [tex]$\varphi (x)\leq \psi (x)$[/tex] ed [tex]$[a,b]$[/tex] è la proiezione di [tex]$A$[/tex] sull'asse [tex]$x$[/tex], il tuo integrale si scrive:
[tex]$\iint_A f(x,y)\ \text{d} x\ \text{d} y =\int_a^b \left\{ \int_{\varphi (x)}^{\psi (x)} f(x,y) \ \text{d} y\right\} \ \text{d} x$[/tex].
Insomma, se [tex]$A$[/tex] è il tuo dominio normale ad [tex]$x$[/tex] delimitato dai grafici delle funzioni [tex]$\varphi (x)\leq \psi (x)$[/tex] ed [tex]$[a,b]$[/tex] è la proiezione di [tex]$A$[/tex] sull'asse [tex]$x$[/tex], il tuo integrale si scrive:
[tex]$\iint_A f(x,y)\ \text{d} x\ \text{d} y =\int_a^b \left\{ \int_{\varphi (x)}^{\psi (x)} f(x,y) \ \text{d} y\right\} \ \text{d} x$[/tex].
si lo so solo che non riuscivo a trovare i simboli......scusa....
quindi il precedimento è satto???i punti dell'integrale interno nel mio caso sono 3 (b) e -2 (a) ?????
scusami per le tante domande
e grazie tante per avermi risposto
quindi il precedimento è satto???i punti dell'integrale interno nel mio caso sono 3 (b) e -2 (a) ?????
scusami per le tante domande
e grazie tante per avermi risposto
Per trovare i punti devi risolvere l'equazione [tex]$x^2=6-x$[/tex], cioè [tex]$x^2+x-6=0$[/tex].
Visto che [tex]$x^2+x-6=(x+3)(x-2)$[/tex], l'equazione ha soluzioni [tex]$-3$[/tex] e [tex]$2$[/tex].
Si vede, inoltre, che per [tex]$x\in [-3,2]$[/tex] si ha [tex]$x^2+x-6\leq 0$[/tex] ossia [tex]$x^2\leq 6-x$[/tex] sicché (usando le notazioni del mio post precedente) devi scegliere [tex]$\varphi (x)=x^2$[/tex] e [tex]$\psi (x)=6-x$[/tex].
Ovviamente quanto appena detto in maniera formale lo potevi capire subito facendo un disegno:
[asvg]xmin=-5;xmax=5;ymin=0;ymax=10;
axes("labels","grid");
plot("x^2",-5,-3);
plot("x^2",2,5);
plot("6-x",-5,-3);
plot("6-x",2,6);
stroke="red";
plot("x^2",-3,2);
plot("6-x",-3,2);
stroke="orange";
dot([-3,9]);
dot([2,4]);[/asvg]
Il dominio [tex]$A$[/tex] è quello delimitato dal contorno rosso.
Visto che [tex]$x^2+x-6=(x+3)(x-2)$[/tex], l'equazione ha soluzioni [tex]$-3$[/tex] e [tex]$2$[/tex].
Si vede, inoltre, che per [tex]$x\in [-3,2]$[/tex] si ha [tex]$x^2+x-6\leq 0$[/tex] ossia [tex]$x^2\leq 6-x$[/tex] sicché (usando le notazioni del mio post precedente) devi scegliere [tex]$\varphi (x)=x^2$[/tex] e [tex]$\psi (x)=6-x$[/tex].
Ovviamente quanto appena detto in maniera formale lo potevi capire subito facendo un disegno:
[asvg]xmin=-5;xmax=5;ymin=0;ymax=10;
axes("labels","grid");
plot("x^2",-5,-3);
plot("x^2",2,5);
plot("6-x",-5,-3);
plot("6-x",2,6);
stroke="red";
plot("x^2",-3,2);
plot("6-x",-3,2);
stroke="orange";
dot([-3,9]);
dot([2,4]);[/asvg]
Il dominio [tex]$A$[/tex] è quello delimitato dal contorno rosso.
scusa ma quando poi svolgo l'ntegrale esterno mi viene xe^6-x - xe^x^2 giusto??
quindi poi dovrei intrgrare per parti????
potreste farmi vedere per favore o provato ma non sono sicuro...
grazie e scuate....
buona domenica
quindi poi dovrei intrgrare per parti????
potreste farmi vedere per favore o provato ma non sono sicuro...
grazie e scuate....
buona domenica
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