Integrali doppi

[nitai108]

Qualcuno mi potrebbe spiegare per qual motivo questo integrale è 0? Graficamente quella u cosa rappresenterebbe? L'insieme di integrazione è un cerchio di centro nell'origine e raggio 1 (diventa così dopo una sostituzione che ho fatto in precedenza). Intuitivamente quella u non dovrebbe essere una retta che passa nell'origine a $\pi/4$, quindi u=v? Però perchè l'integrale sia 0 questo deve annullarsi per ragioni di simmetria, ho le idee confuse come vedete, per favore aiutatemi.

$intint_(u^2+v^2<=1)u dudv$

Grazie.

EDIT: inoltre qualcuno mi potrebbe suggerire la via per risolvere questo integrale?

$intsqrt(1-x^2)dx$

Grazie ancora.

[K.Lomax]

Hai provato a risolvere il primo integrale?

Il secondo integrale si risolve facilmente tramite la sostituzione $x=sint$ ed utilizzando la relazione fondamentale.

[Marco512]

Se tralasci un attimo la seconda variabile v, ritrovi la funzione $f(u)=u$, sull'intervallo di ascissa $[-1,1]$. Ruotando di $2 \pi$ attorno l'asse delle ordinate ottieni il solido che devi integrare, che rispetto il sistema di riferimento cartesiano (ora a 3 dimendioni u,v, f(u,v)) è una somma di due volumi uguali, uno positivo e l'altro negativo. Per visualizzarlo meglio devi pensare al piano contenente l'asse v, che passa per l'origine e che forma un angolo di 45° con l'asse delle u. Proietti sul piano (u,v) e ottieni un solido che deriva dall'intersezione del cilindro individuato dal dominio e dal piano suddetto. Ti risulta?

[nitai108]

"K.Lomax":Hai provato a risolvere il primo integrale?

Il secondo integrale si risolve facilmente tramite la sostituzione $x=sint$ ed utilizzando la relazione fondamentale.

Hai ragione, mi è venuto in mente pochi minuti dopo che ho postato, o se no si sostituisce con una radice della funzione, tipo $sqrt(1-x^2)=(x-1)y$. Comunque grazie.

Per quanto riguarda il primo integrale era più un problema di visualizzazione nello spazio, risolvendolo il risultato torna (mi veniva 0 però mi chiedevo per quale motivo).

[Marco512]

nitai108:

EDIT: inoltre qualcuno mi potrebbe suggerire la via per risolvere questo integrale?

$intsqrt(1-x^2)dx$

Grazie ancora.

E' un integrale notevole

[nitai108]

"Marco512":Se tralasci un attimo la seconda variabile v, ritrovi la funzione $f(u)=u$, sull'intervallo di ascissa $[-1,1]$. Ruotando di $2 \pi$ attorno l'asse delle ordinate ottieni il solido che devi integrare, che rispetto il sistema di riferimento cartesiano (ora a 3 dimendioni u,v, f(u,v)) è una somma di due volumi uguali, uno positivo e l'altro negativo. Per visualizzarlo meglio devi pensare al piano contenente l'asse v, che passa per l'origine e che forma un angolo di 45° con l'asse delle u. Proietti sul piano (u,v) e ottieni un solido che deriva dall'intersezione del cilindro individuato dal dominio e dal piano suddetto. Ti risulta?

Quindi il dominio è un cilindro, la funzione f(u)=u invece che cos'è? Due coni che si toccano con la punta nell'origine??

[Marco512]

nitai108:[quote=Marco512]Se tralasci un attimo la seconda variabile v, ritrovi la funzione $f(u)=u$, sull'intervallo di ascissa $[-1,1]$. Ruotando di $2 \pi$ attorno l'asse delle ordinate ottieni il solido che devi integrare, che rispetto il sistema di riferimento cartesiano (ora a 3 dimendioni u,v, f(u,v)) è una somma di due volumi uguali, uno positivo e l'altro negativo. Per visualizzarlo meglio devi pensare al piano contenente l'asse v, che passa per l'origine e che forma un angolo di 45° con l'asse delle u. Proietti sul piano (u,v) e ottieni un solido che deriva dall'intersezione del cilindro individuato dal dominio e dal piano suddetto. Ti risulta?

Quindi il dominio è un cilindro, la funzione f(u)=u invece che cos'è? Due coni che si toccano con la punta nell'origine??[/quote]

No, il dominio è la circonferenza centrata nell'origine e di raggio 1. Nello spazio il calcolo dell'integrale diventa il calcolo del volume del cilindro (indefinito, pensalo senza basi solo la superficie laterale, che si estende indefinitamente lungo la sua altezza) che viene tagliato dal piano obliquo e delimitato dal dominio che sta sul piano (u,v). Alla fine hai un solido delimitato; nella base dalla semicirconferenza, nella superficie laterale dalla sup. lat. del cilindro e superiormente dal piano, questo per $u>0$. Per $u<0$ è lo stesso solido ma ribaltato di 180° rispetto l'asse delle v.
Visivamente è una specie di doppia vela, tipo alcune architetture che si vedono in giro (palazzetti dello sport ecc.)



Se non ho preso troppi abbagli dovrebbe essere così

[nitai108]

"Marco512":No, il dominio è la circonferenza centrata nell'origine e di raggio 1. Nello spazio il calcolo dell'integrale diventa il calcolo del volume del cilindro (indefinito, pensalo senza basi solo la superficie laterale, che si estende indefinitamente lungo la sua altezza) che viene tagliato dal piano obliquo e delimitato dal dominio che sta sul piano (u,v). Alla fine hai un solido delimitato; nella base dalla semicirconferenza, nella superficie laterale dalla sup. lat. del cilindro e superiormente dal piano, questo per $u>0$. Per $u<0$ è lo stesso solido ma ribaltato di 180° rispetto l'asse delle v.
Visivamente è una specie di doppia vela, tipo alcune architetture che si vedono in giro (palazzetti dello sport ecc.)



Se non ho preso troppi abbagli dovrebbe essere così

Ok, grazie, ora mi è più chiaro.

[orazioster]

"nitai108":

$intsqrt(1-x^2)dx$

sostituire la variabile d'inegrazione con $sin\theta$ o $cos \theta$. E poi... lavorare
con la trigonometria, per esempio: $cos^2\theta =...$ ($f(2\theta)$).

[Covenant]

"nitai108":

EDIT: inoltre qualcuno mi potrebbe suggerire la via per risolvere questo integrale?

$intsqrt(1-x^2)dx$

Grazie ancora.

questo si può fare anche per parti anche se la soluzione più "famosa" è quella per sostituzione.