Integrali doppi
salve!!pomeriggio mi sono inbattuta nello studio degli integrali doppi o tripli che si vuole(in fin dei conti credo di aver capito che praticamente sono simili)e ora ho qualche dubbio da proporvi;
il primo riguarda il fatto che gli unici esercizi svolti che ho trovato mi danno delle limitazioni(credo che si chiamino cosi gli estremi di integrazione degli integali doppi o tripli o forse è solo un modo alternativo ancora non lo so
) chiare; vi faccio un esempio per potermi esprimere meglio; gli integrali che ho svolto sono di questo tipo:
$\int int_D (x+2y) dxdy$ dove D è un triangolo definito dalle seguenti limitazioni $0<=x<=1$ , $0<=y<=1-x$ quindi risolvere l'integrale è semplcissimo basta porre ad es $\int_0^1 dx int_0^(1-x) (x+2y)dy$ e fin qui nessun problema...
gli integrali su cui invece ho dei dubbi sono ad es cosi definiti:
$\int int_D |y|/(x^2+y^2)^2dxdy$ dove mi viene detto che D= $1<=x^2+y^2<=4x$ , $|y|<=sqrt3x$
quindi se mi viene detto cosi gli 'estremi di integrazione' quali dovrebbero essere???forse devo fare un sistema d disequazioni??
seconda e ultima domanda che vi pongo nella speranza di poter capire meglio questi integrali....se ho ben capito il cambiamento di variabili in un integrale doppio o triplo che sia si esegue quando D è CIRCONFERENZA o un ELLISSE....quidni ad es nel secondo integrale che ho riportato sopra sarebbe opportuno effettuare un cambiamento di variabili....ma è giusta questa regoletta??
scusate la miriade di domande ma se ne sapete almeno una di queste vi ringrazierei...
il primo riguarda il fatto che gli unici esercizi svolti che ho trovato mi danno delle limitazioni(credo che si chiamino cosi gli estremi di integrazione degli integali doppi o tripli o forse è solo un modo alternativo ancora non lo so
) chiare; vi faccio un esempio per potermi esprimere meglio; gli integrali che ho svolto sono di questo tipo:$\int int_D (x+2y) dxdy$ dove D è un triangolo definito dalle seguenti limitazioni $0<=x<=1$ , $0<=y<=1-x$ quindi risolvere l'integrale è semplcissimo basta porre ad es $\int_0^1 dx int_0^(1-x) (x+2y)dy$ e fin qui nessun problema...
gli integrali su cui invece ho dei dubbi sono ad es cosi definiti:
$\int int_D |y|/(x^2+y^2)^2dxdy$ dove mi viene detto che D= $1<=x^2+y^2<=4x$ , $|y|<=sqrt3x$
quindi se mi viene detto cosi gli 'estremi di integrazione' quali dovrebbero essere???forse devo fare un sistema d disequazioni??
seconda e ultima domanda che vi pongo nella speranza di poter capire meglio questi integrali....se ho ben capito il cambiamento di variabili in un integrale doppio o triplo che sia si esegue quando D è CIRCONFERENZA o un ELLISSE....quidni ad es nel secondo integrale che ho riportato sopra sarebbe opportuno effettuare un cambiamento di variabili....ma è giusta questa regoletta??
scusate la miriade di domande ma se ne sapete almeno una di queste vi ringrazierei...
Risposte
Ciao,
gli integrali doppi di solito hanno come dominio di integrazione un sottoinsieme di $RR^2$ che normalmente ti viene fornito sotto forma di una serie di disequazioni.
Ad esempio nel secondo caso che hai riportato, il dominio su cui integrare è dato dalla soluzione del sistema
$\{ (1 <= x^2 + y^2 <= 4x) , (|y| <= sqrt(3) x) :}$
Prendiamo la prima. E' il modo compatto di scrivere il sistema di disequazioni
$\{ (x^2 + y^2 >= 1) , (x^2 + y^2 <= 4x) :}$
cioè
$\{ (x^2 + y^2 >= 1) , ((x-2)^2 + y^2 <= 4) :}$
questo sistema rappresenta i punti esterni al cerchio di raggio 1 centrato in (0,0), chiamalo $\gamma_1$ , prima equazione, e interni al cerchio di raggio 2 centrato in (2,0), chiamalo $\gamma_2$, seconda equazione. A questo punto per visualizzare la regione del piano in questione potrebbe essere utile un disegno.
La seconda invece diventa
$ - sqrt(3) x <= y <= sqrt(3) x$
cioè i valori di y compresi tra le rette $+- sqrt(3) x$ nel semipiano positivo delle x, questo perchè per x negativi l'ultima disequazione perde significato.
Ora facendo l'intersezione tra l'insieme delimitato dalle due circonferenze e l'ultimo che abbiamo trovato ottieni il tuo dominio di integrazione. Devi disegnarlo per capire com'è fatto e poter proseguire. Una volta che l'avrai disegnato "affettalo" , nella direzione che preferisci (che dovrebbe risultare dalla forma del dominio stesso) e calcola gli estremi a seconda di quale parte del dominio stai considerando.
Ti faccio un esempio più semplice. Immagina di dover integrare la tua funzione sul dominio definito solo dall'intersezione dei due cerchi di prima, quindi
$1 <= x^2 + y^2 <= 4x$ , e proviamo ad "affettarlo" in senso orizzontale. Il dominio sarà diviso in 3 zone: il segmento circolare ( http://it.wikipedia.org/wiki/Segmento_circolare ) che va dal punto più alto di $\gamma_2$ al punto di intersezione tra le due circonferenza; la zona centrale, delimitata a sinistra da $\gamma_1$ e a destra da $\gamma_2$; il segmento circolare inferiore simmetrico al primo rispetto all'asse x.
Per trovare i punti di intersezione dei due cerchi occorre risolvere
$\{ (x^2 + y^2 = 1) , ((x-2)^2 + y^2 = 4) :}$
sottraendo la prima alla seconda ottieni
$ (x-2)^2 - x^2 = 3$ cioè $ - 2 x + 4 = 3 $ quindi $ x = 1/2$ da cui $ y = +- sqrt{1 - (1 /2)^2} = +- sqrt(3) /2 $
quindi i punti di intersezione sono $A = (1/2 , sqrt(3) /2)$ e $B = (1/2 , - sqrt(3) /2)$. Ora spezzi l'integrale in tre parti, cioè nei tre pezzi in cui abbiamo scomposto il dominio di integrazione, e in ognuna delle parti guardi le limitazioni per x.
Nei segmenti circolari avrai che $2 - sqrt{4 - y^2} <= x <= 2 + sqrt{4 - y^2} $ questo per $-2 <= y <= - sqrt(3) /2$ e per $sqrt(3) /2 <= y <= 2$ mentre nella zona centrale avrai che $ sqrt{1 - y^2} < x < 2 + sqrt{4 - y^2} $ per $- sqrt(3) /2 <= x <= sqrt(3) /2 $.
Spero di essermi spiegato...se ci fosse qualche errore o passaggio lacunoso fammi sapere.
gli integrali doppi di solito hanno come dominio di integrazione un sottoinsieme di $RR^2$ che normalmente ti viene fornito sotto forma di una serie di disequazioni.
Ad esempio nel secondo caso che hai riportato, il dominio su cui integrare è dato dalla soluzione del sistema
$\{ (1 <= x^2 + y^2 <= 4x) , (|y| <= sqrt(3) x) :}$
Prendiamo la prima. E' il modo compatto di scrivere il sistema di disequazioni
$\{ (x^2 + y^2 >= 1) , (x^2 + y^2 <= 4x) :}$
cioè
$\{ (x^2 + y^2 >= 1) , ((x-2)^2 + y^2 <= 4) :}$
questo sistema rappresenta i punti esterni al cerchio di raggio 1 centrato in (0,0), chiamalo $\gamma_1$ , prima equazione, e interni al cerchio di raggio 2 centrato in (2,0), chiamalo $\gamma_2$, seconda equazione. A questo punto per visualizzare la regione del piano in questione potrebbe essere utile un disegno.
La seconda invece diventa
$ - sqrt(3) x <= y <= sqrt(3) x$
cioè i valori di y compresi tra le rette $+- sqrt(3) x$ nel semipiano positivo delle x, questo perchè per x negativi l'ultima disequazione perde significato.
Ora facendo l'intersezione tra l'insieme delimitato dalle due circonferenze e l'ultimo che abbiamo trovato ottieni il tuo dominio di integrazione. Devi disegnarlo per capire com'è fatto e poter proseguire. Una volta che l'avrai disegnato "affettalo" , nella direzione che preferisci (che dovrebbe risultare dalla forma del dominio stesso) e calcola gli estremi a seconda di quale parte del dominio stai considerando.
Ti faccio un esempio più semplice. Immagina di dover integrare la tua funzione sul dominio definito solo dall'intersezione dei due cerchi di prima, quindi
$1 <= x^2 + y^2 <= 4x$ , e proviamo ad "affettarlo" in senso orizzontale. Il dominio sarà diviso in 3 zone: il segmento circolare ( http://it.wikipedia.org/wiki/Segmento_circolare ) che va dal punto più alto di $\gamma_2$ al punto di intersezione tra le due circonferenza; la zona centrale, delimitata a sinistra da $\gamma_1$ e a destra da $\gamma_2$; il segmento circolare inferiore simmetrico al primo rispetto all'asse x.
Per trovare i punti di intersezione dei due cerchi occorre risolvere
$\{ (x^2 + y^2 = 1) , ((x-2)^2 + y^2 = 4) :}$
sottraendo la prima alla seconda ottieni
$ (x-2)^2 - x^2 = 3$ cioè $ - 2 x + 4 = 3 $ quindi $ x = 1/2$ da cui $ y = +- sqrt{1 - (1 /2)^2} = +- sqrt(3) /2 $
quindi i punti di intersezione sono $A = (1/2 , sqrt(3) /2)$ e $B = (1/2 , - sqrt(3) /2)$. Ora spezzi l'integrale in tre parti, cioè nei tre pezzi in cui abbiamo scomposto il dominio di integrazione, e in ognuna delle parti guardi le limitazioni per x.
Nei segmenti circolari avrai che $2 - sqrt{4 - y^2} <= x <= 2 + sqrt{4 - y^2} $ questo per $-2 <= y <= - sqrt(3) /2$ e per $sqrt(3) /2 <= y <= 2$ mentre nella zona centrale avrai che $ sqrt{1 - y^2} < x < 2 + sqrt{4 - y^2} $ per $- sqrt(3) /2 <= x <= sqrt(3) /2 $.
Spero di essermi spiegato...se ci fosse qualche errore o passaggio lacunoso fammi sapere.
Ah....mi sono accorto che i punti di intersezione stanno esattamente sulle rette $ y = +- sqrt(3) x$ quindi il post di prima descrive il dominio su cui devi integrare.
Per quanto riguarda la tua domanda sui cambi di variabile....se proprio vuoi una regoletta quello che ti posso dire è di guardare le proprietà di simmetria del dominio più che alla forma della funzione. Se è a simmetria circolare allora le coordinate polari piane sono una buona sostituzione, se è a simmetria ellittica usi le coordinate ellittiche, se, in 3d, ha simmetria cilindrica usi le coordinate cilindriche, ecc....
Per quanto riguarda la tua domanda sui cambi di variabile....se proprio vuoi una regoletta quello che ti posso dire è di guardare le proprietà di simmetria del dominio più che alla forma della funzione. Se è a simmetria circolare allora le coordinate polari piane sono una buona sostituzione, se è a simmetria ellittica usi le coordinate ellittiche, se, in 3d, ha simmetria cilindrica usi le coordinate cilindriche, ecc....
grazie 1000..ti sei spiegato benissimo...certo credo che per forza l integrale non puo spezzarsi in tre parti perchè si tratta di un integrale doppio...non saprei che fare con tre domini...o sbaglio?grazie ancora...ciao
un altra cosa...credo che nell ultima disequaizione(quella relativa alla zona centrale) volevi scrivere $-sqrt(3)/2<=y<=sqrt(3)/2$ ,giusto?cmq dal disegno riesco a capire tutto perfettamente..l'unica cosa che non mi spiego è come hai determinato le x della zona centrale...cmq ora cerco di ragionarci un po...grazie ancora 
ok scusami per l'ennesimo post ma credo di aver capito un po tutto...credo che per la zona centrale volevi scrivere
$-sqrt(1-y^2)<=x<=2+sqrt(4-y^2)$...giusto??
adesso finita la parte iniziale dell'esercizio svolgo l'integrale doppio distinguendo i tre casi??
$-sqrt(1-y^2)<=x<=2+sqrt(4-y^2)$...giusto??
adesso finita la parte iniziale dell'esercizio svolgo l'integrale doppio distinguendo i tre casi??
"daniela87":
credo che nell ultima disequaizione(quella relativa alla zona centrale) volevi scrivere $-sqrt3 / 2 <= y <= sqrt3 / 2$ ,giusto?
Si...scusa....
"daniela87":
credo che per la zona centrale volevi scrivere $-sqrt{1-y^2} <= x <= 2+sqrt{4-y^2}$...giusto??
No....facendo così consideri anche i punti interni al cerchio centrato nell'origine, e tu quelli non li vuoi.
Adesso non ti resta che integrare nelle tre parti in cui abbiamo diviso il dominio.
certo...hai perfettamente ragione!thanks ancora una volta:-)
Figurati.....ciao!
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