Integrali di variabile complessa
Salve a tutti, ho bisogno di un aiuto con gli integrali di variabile complessa.
La teoria del mio professore non è molto chiara, e esercizi come questo:
$int_gamma(e^z)/z"d"z$, dove $gamma:\ z(t)=3i+2e^(it),\ t\in[0, 2pi]$
non riesco proprio a risolverli.
La formula che ho sulle dispense dice di dividere l'integrale in due: uno per la parte reale e uno per quella immaginaria, sostituire i valori parametrici di gamma nella f(z), sostituire a dz il differenziale di z per dt e integrare su t, tra i valori 0 e 2 PI, ma mi impantano miseramente... Avete qualche consiglio??
EDIT: scusate per l'immagine, l'ho tagliata male...
La teoria del mio professore non è molto chiara, e esercizi come questo:
$int_gamma(e^z)/z"d"z$, dove $gamma:\ z(t)=3i+2e^(it),\ t\in[0, 2pi]$
non riesco proprio a risolverli.
La formula che ho sulle dispense dice di dividere l'integrale in due: uno per la parte reale e uno per quella immaginaria, sostituire i valori parametrici di gamma nella f(z), sostituire a dz il differenziale di z per dt e integrare su t, tra i valori 0 e 2 PI, ma mi impantano miseramente... Avete qualche consiglio??
EDIT: scusate per l'immagine, l'ho tagliata male...
Risposte
Se possibile evita di incorporare immagini esterne che appesantiscono inutilmente. Usa invece il codice corretto per scrivere le formule (click). In questo caso l'esercizio è:
a) $int_gamma(e^z)/z"d"z$, dove $gamma:\ z(t)=3i+2e^(it),\ t\in[0, 2pi]$.
a) $int_gamma(e^z)/z"d"z$, dove $gamma:\ z(t)=3i+2e^(it),\ t\in[0, 2pi]$.
"dissonance":
Se possibile evita di incorporare immagini esterne che appesantiscono inutilmente. Usa invece il codice corretto per scrivere le formule (click). In questo caso l'esercizio è:
a) $int_gamma(e^z)/z"d"z$, dove $gamma:\ z(t)=3i+2e^(it),\ t\in[0, 2pi]$.
Chiedo scusa, starò più attento la prossima volta.
Nessuno sa darmi un consiglio ?
Disegna l'insieme di definizione della tua funzione ed evidenzia i punti di singolarità. Poi disegna il circuito. Infine ricordati il teorema di Cauchy.
"dissonance":
Disegna l'insieme di definizione della tua funzione ed evidenzia i punti di singolarità. Poi disegna il circuito. Infine ricordati il teorema di Cauchy.
Ho un problema nel disegnare sul piano complesso la curva gamma:
dovrebbe essere questa l'equazione $gamma:\ z(t)=3i+2e^(it) = 2cos(t) + i(3 + 2sin(t)) ,\ t\in[0, 2pi]$, e graficando mi viene una figura strana, di cui però non riesco a trovare le singolarità... In effetti non sono neppure sicuro di graficarla correttamente...
Per quanto riguarda il teorema di Cauchy, so che dice che lungo una curva chiusa, sotto certe ipotesi sulla funzione, l'integrale di linea di una funzione complessa è nullo... Però ho provato a fare anche altri esercizi, e in quel caso le curve erano circonferenze (sempre che abbia graficato bene....), ma il risultato dell'integrale non era zero.
Potreste aiutarmi ancora?? Sono un po' confuso....
Scusate se riposto in questo thread, ma ho un altro quesito da porre, sempre relativo agli integrali di variabile complessa.
In un esercizio di questo genere: $int_gamma (z^2-i)/(z^2 - 2iz + 3)"d"z$, dove $gamma:\ z(t)=2 - i + 3e^(it),\ t\in[0, 2pi]$
mi sembra di dover usare la formula integrale di Cauchy, ma quello che non mi è chiaro è come applicarla. Ho fattorizzato a denominatore, ottenendo $(z-i)^2+4$. Ho poi effettuato una trasformazione di variabili per avere l'integrale in una forma utilizzabile secondo la formula integrale, ed ho imposto
$Z = (z-i)^2$;
$d"Z = 2(z-i) d"z$ ----> $dz = d"Z/(2(z-i));
$f(Z) = sqrt(Z) = (z-i)$;
per poi ottenere questo integrale: $int_gamma f(Z)/(Z + 4) (d"Z)/(2(z-i))$, cioè: $int_gamma 1/(2(Z + 4)) d"Z$
A questo punto non so bene come andare avanti. Cioè, probabilmente il più l'ho fatto, ma chiedo perdono: sono un povero studente di ingegneria con pochissimo tempo per preparare lo scritto di Matematica II....!
Ogni risposta, anche solo un consiglio veloce, saranno ben accetti
In un esercizio di questo genere: $int_gamma (z^2-i)/(z^2 - 2iz + 3)"d"z$, dove $gamma:\ z(t)=2 - i + 3e^(it),\ t\in[0, 2pi]$
mi sembra di dover usare la formula integrale di Cauchy, ma quello che non mi è chiaro è come applicarla. Ho fattorizzato a denominatore, ottenendo $(z-i)^2+4$. Ho poi effettuato una trasformazione di variabili per avere l'integrale in una forma utilizzabile secondo la formula integrale, ed ho imposto
$Z = (z-i)^2$;
$d"Z = 2(z-i) d"z$ ----> $dz = d"Z/(2(z-i));
$f(Z) = sqrt(Z) = (z-i)$;
per poi ottenere questo integrale: $int_gamma f(Z)/(Z + 4) (d"Z)/(2(z-i))$, cioè: $int_gamma 1/(2(Z + 4)) d"Z$
A questo punto non so bene come andare avanti. Cioè, probabilmente il più l'ho fatto, ma chiedo perdono: sono un povero studente di ingegneria con pochissimo tempo per preparare lo scritto di Matematica II....!
Ogni risposta, anche solo un consiglio veloce, saranno ben accetti
Il secondo esercizio è un po' più complicato, ma per il primo ti consiglio di riflettere bene su cosa sia il circuito $gamma$. Si tratta della circonferenza di centro $3i$ e raggio $2$. Infatti quando $t\in[0, 2pi]$, $2e^(it)$ descrive la circonferenza di centro $0$ e raggio $2$ come sicuramente saprai. Saprai anche che la somma di numeri complessi si interpreta geometricamente come la somma di vettori piani, quindi come traslazione: perciò $3i+2e^(it)$ è la circonferenza di prima traslata fino a farne coincidere il centro con $3i$. Questa circonferenza non racchiude l'origine, e l'origine è l'unico punto di singolarità della funzione integranda, che in tutto il resto del piano complesso è olomorfa. Per il teorema di Cauchy (non so in quale versione lo conosci, ma il succo non cambia) l'integrale proposto vale zero.
"dissonance":
Il secondo esercizio è un po' più complicato, ma per il primo ti consiglio di riflettere bene su cosa sia il circuito $gamma$. Si tratta della circonferenza di centro $3i$ e raggio $2$. Infatti quando $t\in[0, 2pi]$, $2e^(it)$ descrive la circonferenza di centro $0$ e raggio $2$ come sicuramente saprai. Saprai anche che la somma di numeri complessi si interpreta geometricamente come la somma di vettori piani, quindi come traslazione: perciò $3i+2e^(it)$ è la circonferenza di prima traslata fino a farne coincidere il centro con $3i$. Questa circonferenza non racchiude l'origine, e l'origine è l'unico punto di singolarità della funzione integranda, che in tutto il resto del piano complesso è olomorfa. Per il teorema di Cauchy (non so in quale versione lo conosci, ma il succo non cambia) l'integrale proposto vale zero.
Adesso inizio a capirci un po' di più, grazie mille...! Ci devo ancora lavorare su questi argomenti, la questione della traslazione mi torna nuova... Per il secondo esercizio, quando e se trovassi tempo/voglia, potresti aiutarmi? La formula di Cauchy non riesco proprio ad applicarla...
Una domanda al volo: conosci il teorema dei residui?
"dissonance":
Una domanda al volo: conosci il teorema dei residui?
No, sulle dispense che mi ha fornito il professore non è neppure menzionato. Tutto quello che so su questo teorema è quello che ho letto di sfuggita su wikipedia mentre cercavo disperatamente qualche informazione... Questi integrali sono il primo argomento di matematica che mi mette veramente in crisi.
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