Integrali di Superficie
Trovare il valore del seguente integrale superficiale $int_S ( x^2-y^2+y+3z^2 ) "d" sigma$ dove $S$ è la superficie della sfera di centro l’origine e raggio $r$.
Per la prima cosa passo in coordinate sferiche e mi trovo la curva $phi(u,v)$ con $u=alpha$ e $v=theta$ che descrive la sfera, poi mi trovo dove sono definiti i 2 angoli $alpha$ e $theta$ .
Adesso l’integrale mi diventa. $int int_D f(\varphi(u,v))||\varphi_u \times \varphi_v||dudv$.
Il mio problema si lega alla matrice jacobiana J ovvero la matrice delle derivate parziali di ogni componente rispetto a ρ,α,θ e al modulo di questo prodotto vettoriale $||\varphi_u \times \varphi_v ||$ ..Io so che la matrice jacobiana si usa quando si effettua un cambio di coordinate e va moltiplicata a tutto quello che sta sotto l’integrale. In questo caso la matrice jacobiana ha lo stesso risultato del modulo del prodotto vettoriale. Io ho risolto l’esercizio come ho detto più sopra cioè facendo questo prodotto $J ||\varphi_u \times \varphi_v||f(\varphi(u,v))$. e integrandolo. Guardando la soluzione ho notato che a molttiplicare $f(\varphi(u,v))$ c’è solo la matrice jacobiana e non riesco a capire il perchè..Vorrei avere qualche chiarimento su come viene utilizzata la matrice jacobiana, e come dovrei impostare un integrale di superficie tenendo conto anche della matrice del cambiamento di coordinate. Grazie
Per la prima cosa passo in coordinate sferiche e mi trovo la curva $phi(u,v)$ con $u=alpha$ e $v=theta$ che descrive la sfera, poi mi trovo dove sono definiti i 2 angoli $alpha$ e $theta$ .
Adesso l’integrale mi diventa. $int int_D f(\varphi(u,v))||\varphi_u \times \varphi_v||dudv$.
Il mio problema si lega alla matrice jacobiana J ovvero la matrice delle derivate parziali di ogni componente rispetto a ρ,α,θ e al modulo di questo prodotto vettoriale $||\varphi_u \times \varphi_v ||$ ..Io so che la matrice jacobiana si usa quando si effettua un cambio di coordinate e va moltiplicata a tutto quello che sta sotto l’integrale. In questo caso la matrice jacobiana ha lo stesso risultato del modulo del prodotto vettoriale. Io ho risolto l’esercizio come ho detto più sopra cioè facendo questo prodotto $J ||\varphi_u \times \varphi_v||f(\varphi(u,v))$. e integrandolo. Guardando la soluzione ho notato che a molttiplicare $f(\varphi(u,v))$ c’è solo la matrice jacobiana e non riesco a capire il perchè..Vorrei avere qualche chiarimento su come viene utilizzata la matrice jacobiana, e come dovrei impostare un integrale di superficie tenendo conto anche della matrice del cambiamento di coordinate. Grazie
Risposte
1) La sfera non è una curva, ma una superficie. Quindi non dire "per prima cosa passo in coordinate sferiche e mi trovo la curva ...".
2) Cosa c'entra la matrice jacobiana? Non fare pasticci. Devi calcolare \(\lVert \varphi_u\times \varphi_v\rVert\, dudv\). Forza, al lavoro. Se vuoi interpretare geometricamente questa costruzione dai un'occhiata a MathInsight:
http://mathinsight.org/
(penso che ti interessi specialmente questa lezione http://mathinsight.org/surface_integral ... troduction )
2) Cosa c'entra la matrice jacobiana? Non fare pasticci. Devi calcolare \(\lVert \varphi_u\times \varphi_v\rVert\, dudv\). Forza, al lavoro. Se vuoi interpretare geometricamente questa costruzione dai un'occhiata a MathInsight:
http://mathinsight.org/
(penso che ti interessi specialmente questa lezione http://mathinsight.org/surface_integral ... troduction )
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo