Integrali di superficie
Hi! sto preparando con immensa fatica l'esame di analisi4 e da giorni sbatto la testa sempre sullo stesso problema. non riesco a ricavare la superficie sulla quale devo eseguire l'integrale 
esempio pratico: dato il campo di vettori $F= z \hat i+x^2y \hat j + y^2z \hatk$ calcolare il flusso uscente di F dalla superficie
$S={2sqrt(x^2+y^2) <= z <= 1+x^2+y^2, x^2+y^2<=1}$
dunque x e y variano all'interno del disco unitario, mentre z ?
$2sqrt(x^2+y^2) = z $ è un cono e $ z = 1+x^2+y^2 $ un paraboloide (giusto?) quindi secondo le mie osservazioni questa
superficie è (scusate la rozza definizione) un cono con vertice nell'origine a cui tolgo il paraboloide. ho solo la falda
superiore del cono perchè $z>=0$ in quanto maggiore di una radice quadrata. Osservo che i punti appartenenti a
$x^2+y^2=1$ corrispondono al piano $z=2$ che quindi mi dà una limitazione per le z.
che ne dite?
esempio pratico: dato il campo di vettori $F= z \hat i+x^2y \hat j + y^2z \hatk$ calcolare il flusso uscente di F dalla superficie
$S={2sqrt(x^2+y^2) <= z <= 1+x^2+y^2, x^2+y^2<=1}$
dunque x e y variano all'interno del disco unitario, mentre z ?
$2sqrt(x^2+y^2) = z $ è un cono e $ z = 1+x^2+y^2 $ un paraboloide (giusto?) quindi secondo le mie osservazioni questa
superficie è (scusate la rozza definizione) un cono con vertice nell'origine a cui tolgo il paraboloide. ho solo la falda
superiore del cono perchè $z>=0$ in quanto maggiore di una radice quadrata. Osservo che i punti appartenenti a
$x^2+y^2=1$ corrispondono al piano $z=2$ che quindi mi dà una limitazione per le z.
che ne dite?
Risposte
Ciao gattosilvestro e benvenuto sul forum, io ne so infinitamente meno di te, vorrei comunque provare a ragionare insieme, magari mentre mi correggi ti viene qualche idea
allora una domanda: il vertice del paraboloide è nel punto $V(0;0;1)$?
Anche secondo me è un paraboloide, perchè e lo affetto con il piano $zx$ ottengo la parabola $z=1+x^2$, se lo affetto con il piano $zy$ ottengo la parabola $z=1+y^2$, mi sembra che ci sia una simmetria (si può dire "cilindrica"?) cioè se taglio il paraboloide con piani perpendicolari con l'asse z ottengo delle circonferenze, allora penso così se devo calcolarmi la superficie del parabolide tra 1 e 2 lo taglio a fettine sufficientemente sottili dz in modo da poterle considerare dei cilindri e me ne calcolo la superficie laterale e poi li sommo tutti
$\int_1^2 (2pi*r) dz$ dove r=z-1 dunque l'integrale viene $\int_1^2 2pi*(z-1)dz$
per il cono, è un cono?, la superficie laterale la so: $pi*r*a=pi*1*sqrt5$
ti sembra corretto?
allora una domanda: il vertice del paraboloide è nel punto $V(0;0;1)$?
Anche secondo me è un paraboloide, perchè e lo affetto con il piano $zx$ ottengo la parabola $z=1+x^2$, se lo affetto con il piano $zy$ ottengo la parabola $z=1+y^2$, mi sembra che ci sia una simmetria (si può dire "cilindrica"?) cioè se taglio il paraboloide con piani perpendicolari con l'asse z ottengo delle circonferenze, allora penso così se devo calcolarmi la superficie del parabolide tra 1 e 2 lo taglio a fettine sufficientemente sottili dz in modo da poterle considerare dei cilindri e me ne calcolo la superficie laterale e poi li sommo tutti
$\int_1^2 (2pi*r) dz$ dove r=z-1 dunque l'integrale viene $\int_1^2 2pi*(z-1)dz$
per il cono, è un cono?, la superficie laterale la so: $pi*r*a=pi*1*sqrt5$
ti sembra corretto?
@gio73: non penso che il problema fosse calcolare l'area di quella superficie, ma piuttosto capire che fosse proprio quella la superficie da prendere in considerazione, infatti poi va usata per fare il flusso di un campo vettoriale.
@gattosilvestro: c'è un piccolo problema nel tuo ragionamento: la "falda", come la chiami tu, non è una superficie ma un volume!
Ora la domanda è: devi fare il flusso attraverso la superficie che racchiude quel volume? In caso contrario, non mi è chiaro quale sia il risultato che vuoi raggiungere.
@gattosilvestro: c'è un piccolo problema nel tuo ragionamento: la "falda", come la chiami tu, non è una superficie ma un volume!
Ora la domanda è: devi fare il flusso attraverso la superficie che racchiude quel volume? In caso contrario, non mi è chiaro quale sia il risultato che vuoi raggiungere.
Buonasera Raptorista, io, erroneamente, avevo capito che a gattosilvestro interessasse la superficie, per il resto non so aiutarlo.
ciao 
grazie per l'aiuto!
sì, il vertice del paraboloide è in (0, 0, 1).
quindi la tua idea è calcolare l'integrale su tutto il cono e poi sottrerre l'integrale sul paraboloide?
io ho l'esercizio svolto in aula, dove effettivamente il prof ha esordito dicendo: "è evidente che si tratta di un cilindro" o.O e si è portato tutto in coordinate cilindriche: $\{(x =rcost),(y= rsent),(z= z):} $
e ha parametrizzato S=${ 2r<=z<=1+r^2 ; r^2<=1 ; t in [0,2\pi]} $ e da qui è un attimo... io mi chiedo...ma dove l'ha visto sto cilindro?! però anche tu hai notato qualcosa di simile... uhm...
esatto non mi interessa tanto il risultato dell'integrale, piuttosto come capire che tipo di superficie è e se il mio ragionamento è esatto! forse il prof dicendo che è un cilindro suggeriva una simmetria cilindrica e quindi la scelta di una parametrizzazione adeguata... io la vedo, come suggerivate, come un un cono rovesciato che ha come "tappo" la falda del paraboloide. può funzionare?
ahah il mio lessico matematico lascia un po' a desiderare
@raptorista esatto poi devo calcolare il flusso uscente da questa superficie.
grazie per l'aiuto!sì, il vertice del paraboloide è in (0, 0, 1).
quindi la tua idea è calcolare l'integrale su tutto il cono e poi sottrerre l'integrale sul paraboloide?
io ho l'esercizio svolto in aula, dove effettivamente il prof ha esordito dicendo: "è evidente che si tratta di un cilindro" o.O e si è portato tutto in coordinate cilindriche: $\{(x =rcost),(y= rsent),(z= z):} $
e ha parametrizzato S=${ 2r<=z<=1+r^2 ; r^2<=1 ; t in [0,2\pi]} $ e da qui è un attimo... io mi chiedo...ma dove l'ha visto sto cilindro?! però anche tu hai notato qualcosa di simile... uhm...
esatto non mi interessa tanto il risultato dell'integrale, piuttosto come capire che tipo di superficie è e se il mio ragionamento è esatto! forse il prof dicendo che è un cilindro suggeriva una simmetria cilindrica e quindi la scelta di una parametrizzazione adeguata... io la vedo, come suggerivate, come un un cono rovesciato che ha come "tappo" la falda del paraboloide. può funzionare?
ahah il mio lessico matematico lascia un po' a desiderare
@raptorista esatto poi devo calcolare il flusso uscente da questa superficie.
Sì, il prof si riferiva al fatto che la simmetria della configurazione è cilindrica.
Per quanto riguarda il resto, calcolare il flusso attraverso quella superficie non è certo la cosa più semplice, ti conviene rifarti al Teorema di Stokes [forse nella versione chiamata "teorema della divergenza"] e risolvere in quel modo.
Per quanto riguarda il resto, calcolare il flusso attraverso quella superficie non è certo la cosa più semplice, ti conviene rifarti al Teorema di Stokes [forse nella versione chiamata "teorema della divergenza"] e risolvere in quel modo.
si infatti poi applico il th della divergenza che con la parametrizzazione del prof rende il calcolo del flusso molto agevole.
E' che faccio sempre una gran fatica a capire con quale superficie ho a che fare, a visualizzarla, e quindi a scegliere un parametrizzazione adeguata.
infatti poi applico il th della divergenza che con la parametrizzazione del prof rende il calcolo del flusso molto agevole.E' che faccio sempre una gran fatica a capire con quale superficie ho a che fare, a visualizzarla, e quindi a scegliere un parametrizzazione adeguata.
Ciao Gattosilvestro, credo di dovermi correggere
Credo di aver fatto un errore qui
se $z=1+x^2+y^2$
$x^2+y^2=z-1$
ma l'equazione della circonferenza centrata nell'origine è
$x^2+y^2=r^2$
di conseguneza $z-1=r^2$ non $r$
per trovare $r$ dovrei fare
$r=sqrt(z-1)$ e dunque l'integrale scritto prima va modificato così
$\int_1^2 2pi*sqrt(z-1)dz$, confermate?
"gio73":
Anche secondo me è un paraboloide, perchè e lo affetto con il piano $zx$ ottengo la parabola $z=1+x^2$, se lo affetto con il piano $zy$ ottengo la parabola $z=1+y^2$, mi sembra che ci sia una simmetria (si può dire "cilindrica"?) cioè se taglio il paraboloide con piani perpendicolari con l'asse z ottengo delle circonferenze, allora penso così se devo calcolarmi la superficie del parabolide tra 1 e 2 lo taglio a fettine sufficientemente sottili dz in modo da poterle considerare dei cilindri e me ne calcolo la superficie laterale e poi li sommo tutti
$\int_1^2 (2pi*r) dz$ dove r=z-1 dunque l'integrale viene $\int_1^2 2pi*(z-1)dz$
Credo di aver fatto un errore qui
se $z=1+x^2+y^2$
$x^2+y^2=z-1$
ma l'equazione della circonferenza centrata nell'origine è
$x^2+y^2=r^2$
di conseguneza $z-1=r^2$ non $r$
per trovare $r$ dovrei fare
$r=sqrt(z-1)$ e dunque l'integrale scritto prima va modificato così
$\int_1^2 2pi*sqrt(z-1)dz$, confermate?
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