Integrali di superficie
Buonasera ragazzi
, sono qui per avere una conferma sul corretto svolgimento di un integrale di superficie. L'esercizio chiede:
Calcolare l’area della porzione di superficie $z = xy$, contenuta nel cilindro $x^2+y^2 \leq 1$, $z \geq 0$.
Svolgimento (secondo me):
L'equazione vettoriale della superficie ha la forma:
$
r(x,y) = x \hat{i}+y \hat{j}+f(x,y) \hat{k} = x\hat{i}+y \hat{j}+xy \hat{k}
$
dove $i,j,k$ sono versori. Dunque ora calcola la derivata di $r (x,y)$ rispetto a $x$ e $y$:
$
r_x (x,y) = \hat{i} + y \hat{k}
$
$
r_y (x,y) = \hat{j} +x \hat{k}
$
successivamente determino i parametri direttori del vettore tangente al piano individuato dai vettori $r_x$ e $r_y$:
$
r_x \wedge r_y = -y \hat{i} -x\hat{j} + \hat{k}
$
ed infine procedo con il calcolo della norma di tale vettore:
$
|r_x \wedge r_y | = \sqrt{y^2 + x^2+1}
$
Ora nel calcolo dell'integrale l'esercizio dice per $z \geq 0$ e ho notate che la funzione e' non negativa nel primo e terzo quadrante. Quindi quando faccio il passaggio in coordinate polari ottengo:
$
a(\Sigma) = \left[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} d \theta + \int_{\pi}^{\frac{3 \pi}{2}} d\theta \right] \int_0^1 \delta \sqrt{1+\delta^2} d\delta = \pi \left[ \frac{1}{3} \left(1+\delta^2 \right)^{\frac{3}{2}} \right]_0^1 = \frac{\pi}{3}(2\sqrt{2}-1)
$
fine.
Vi ringrazio anticipatamente della risposto.

Calcolare l’area della porzione di superficie $z = xy$, contenuta nel cilindro $x^2+y^2 \leq 1$, $z \geq 0$.
Svolgimento (secondo me):
L'equazione vettoriale della superficie ha la forma:
$
r(x,y) = x \hat{i}+y \hat{j}+f(x,y) \hat{k} = x\hat{i}+y \hat{j}+xy \hat{k}
$
dove $i,j,k$ sono versori. Dunque ora calcola la derivata di $r (x,y)$ rispetto a $x$ e $y$:
$
r_x (x,y) = \hat{i} + y \hat{k}
$
$
r_y (x,y) = \hat{j} +x \hat{k}
$
successivamente determino i parametri direttori del vettore tangente al piano individuato dai vettori $r_x$ e $r_y$:
$
r_x \wedge r_y = -y \hat{i} -x\hat{j} + \hat{k}
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ed infine procedo con il calcolo della norma di tale vettore:
$
|r_x \wedge r_y | = \sqrt{y^2 + x^2+1}
$
Ora nel calcolo dell'integrale l'esercizio dice per $z \geq 0$ e ho notate che la funzione e' non negativa nel primo e terzo quadrante. Quindi quando faccio il passaggio in coordinate polari ottengo:
$
a(\Sigma) = \left[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} d \theta + \int_{\pi}^{\frac{3 \pi}{2}} d\theta \right] \int_0^1 \delta \sqrt{1+\delta^2} d\delta = \pi \left[ \frac{1}{3} \left(1+\delta^2 \right)^{\frac{3}{2}} \right]_0^1 = \frac{\pi}{3}(2\sqrt{2}-1)
$
fine.
Vi ringrazio anticipatamente della risposto.

Risposte
Direi che va bene.