Integrali di Riemann e di Lebesgue
L'altro giorno a Metodi Matematici della Fisica abbiamo trattato l'integrazione secondo Lebesgue.
Volevo chiedervi: nel caso una funzione sia sia Riemann-integrabile sia Lebesgue-integrabile, i valori dei due integrali coincidono?
Volevo chiedervi: nel caso una funzione sia sia Riemann-integrabile sia Lebesgue-integrabile, i valori dei due integrali coincidono?
Risposte
Esiste un ben preciso teorema in proposito:
La dimostrazione di questo importante fatto si basa sul Teorema di Vitali-Lebesgue, il cui enunciato afferma che una funzione limitata ed integrabile secondo Riemann è continua q.o. rispetto alla misura di Lebesgue.
Per le funzioni non limitate o integrabili in senso improprio su insiemi non limitati, le cose cambiano un po'. Tuttavia vale il seguente teorema:
Se \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) è limitata ed integrabile secondo Riemann in \([a,b]\), allora essa è integrabile pure secondo Lebesgue in \([a,b]\) ed i due integrali coincidono.
La dimostrazione di questo importante fatto si basa sul Teorema di Vitali-Lebesgue, il cui enunciato afferma che una funzione limitata ed integrabile secondo Riemann è continua q.o. rispetto alla misura di Lebesgue.
Per le funzioni non limitate o integrabili in senso improprio su insiemi non limitati, le cose cambiano un po'. Tuttavia vale il seguente teorema:
Se \(f:I\to \mathbb{R}\) è assolutamente integrabile (anche in senso improprio) in \(I\), allora essa è integrabile pure secondo Lebesgue in \(I\) ed i due integrali coincidono.
Molte grazie!
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