Integrali di funzioni di due variabili
Domanda scema. Non mi sembrava il caso di aprire una discussione per chiederlo.
$intint cos(xy) dx dx$ senza estremi di integrazione. Voglio solo sapere cosa viene.
Ho il dubbio. Posso fare $intcos(xy) dx intcos(xy) dy$? Risultando quindi $1/y cos(xy) 1/y cos(xy)$?
Posso farlo sempre quello di spezzare l'integrale doppio in un prodotto di due integrali singoli?
[xdom="Seneca"]Questo post proviene dal thread sulle funzioni integrali.[/xdom]
$intint cos(xy) dx dx$ senza estremi di integrazione. Voglio solo sapere cosa viene.
Ho il dubbio. Posso fare $intcos(xy) dx intcos(xy) dy$? Risultando quindi $1/y cos(xy) 1/y cos(xy)$?
Posso farlo sempre quello di spezzare l'integrale doppio in un prodotto di due integrali singoli?
[xdom="Seneca"]Questo post proviene dal thread sulle funzioni integrali.[/xdom]
Risposte
No, non puoi.
E' probabile che non sia un integrale risolvibile in modo elementare.
E' probabile che non sia un integrale risolvibile in modo elementare.
Perchè? O_o Questo non potevo spezzarlo? E quand'è che posso spezzare gli integrali doppi come prodotto di due integrali a variabile unica?
@shika93: che cosa studi, se posso sapere?
Hai sottomano un buon testo di Analisi 2, delle dispense, o degli appunti? E' difficile, se non impossibile, aiutarti: la domanda che poni - così come l'hai scritta, fin dal primo post - è per me del tutto priva di senso.
Hai sottomano un buon testo di Analisi 2, delle dispense, o degli appunti? E' difficile, se non impossibile, aiutarti: la domanda che poni - così come l'hai scritta, fin dal primo post - è per me del tutto priva di senso.
Si, ho un testo (mai seguito); si, ho gli appunti (la prof riscrive tutto quello che c'è sul libro). Neanche io l'ho capito quell'integrale. Me l'ha chiesto un amico e me l'ha data così. Avevo il dubbio su come farlo.
Faccio ingegneria elettronica.
Di solito integrali doppi e ora tripli li abbiamo fatti sempre definendo un dominio dell'integrale, studiando questo dominio, disegnandolo e poi integrando per fili o col cambio di variabile.. Non ho ancora avuto problemi a farli in quel modo lì. Questo però m'ha fatto venire il dubbio.
Io so che dato il dominio, si può spezzare questo dominio in altri sottodomini e calcolare l'integrale come somma di altri integrali definiti nei sottodomini.
$intint_[D]f(x,y)dxdy$ $=>$ $int_[D_1]f(x,y) dx$$int_[D_2]f(x,y)dy$
Altrimenti nel caso di una funzione $intint_[D]f(x)g(y) dxdy$ posso in questo caso spezzare in un prodotto di due integrali singoli uno in dx e l'altro in dy.
$int_{a}^bf(x)dy int_{c}^dg(y)dy$
Altro caso se il dominio è dato dai vertici di un rettangolo.
Quindi, credo di poter rispondermi da solo alla domanda "quand'è che posso spezzare l'integrale" xD
Nel caso in questione che ho chiesto all'inizio, se avessi il dominio (che non mi hanno dato), potrei spezzare l'integrale in una somma di due integrali definiti nel sottodominio (o sottoinsieme, chiamatelo che vi pare). Non si può avere un caso di "integrale doppio indefinito" come in analisi 1 c'erano gli integrali indefiniti?
Faccio ingegneria elettronica.
Di solito integrali doppi e ora tripli li abbiamo fatti sempre definendo un dominio dell'integrale, studiando questo dominio, disegnandolo e poi integrando per fili o col cambio di variabile.. Non ho ancora avuto problemi a farli in quel modo lì. Questo però m'ha fatto venire il dubbio.
Io so che dato il dominio, si può spezzare questo dominio in altri sottodomini e calcolare l'integrale come somma di altri integrali definiti nei sottodomini.
$intint_[D]f(x,y)dxdy$ $=>$ $int_[D_1]f(x,y) dx$$int_[D_2]f(x,y)dy$
Altrimenti nel caso di una funzione $intint_[D]f(x)g(y) dxdy$ posso in questo caso spezzare in un prodotto di due integrali singoli uno in dx e l'altro in dy.
$int_{a}^bf(x)dy int_{c}^dg(y)dy$
Altro caso se il dominio è dato dai vertici di un rettangolo.
Quindi, credo di poter rispondermi da solo alla domanda "quand'è che posso spezzare l'integrale" xD
Nel caso in questione che ho chiesto all'inizio, se avessi il dominio (che non mi hanno dato), potrei spezzare l'integrale in una somma di due integrali definiti nel sottodominio (o sottoinsieme, chiamatelo che vi pare). Non si può avere un caso di "integrale doppio indefinito" come in analisi 1 c'erano gli integrali indefiniti?
Il tuo post mi tranquillizza e ti ringrazio per avermi risposto con gentilezza.
Come vedi, la questione che hai posto inizialmente è priva di senso perché non hai un dominio di integrazione, quindi è un po' come parlare di aria fritta. D'altra parte, permettimi questo commento: ammesso e non concesso di aver ben definito l'integrale indefinito di Analisi 1 (scusami il gioco di parole, non è voluto), la questione della ricerca di "primitive" in dimensione maggiore di 1 prende altre strade. Ed è facile capire perché: se io ti butto lì la funzione \((x,y,z) \mapsto e^y \sin{x} + 2\pi zx \), be' non ha molto senso che io ti chieda la/le primitiva/e di questa funzione. Rispetto a che variabile? Rispetto a che direzione? Quindi, come vedi non è così che si parla di primitive in Analisi n, con n maggiore o uguale a 2.
Comunque esiste - e probabilmente l'hai vista o la vedrai a breve - un'estensione di questi concetti in dimensione superiore. A seconda del formalismo che si preferisce, c'è chi parla di campi conservativi (o solenoidali) e chi parla di forme differenziali chiuse ed esatte e di corrispondenti potenziali. Ma questa, come si dice di solito, è tutta un'altra storia.
Come vedi, la questione che hai posto inizialmente è priva di senso perché non hai un dominio di integrazione, quindi è un po' come parlare di aria fritta. D'altra parte, permettimi questo commento: ammesso e non concesso di aver ben definito l'integrale indefinito di Analisi 1 (scusami il gioco di parole, non è voluto), la questione della ricerca di "primitive" in dimensione maggiore di 1 prende altre strade. Ed è facile capire perché: se io ti butto lì la funzione \((x,y,z) \mapsto e^y \sin{x} + 2\pi zx \), be' non ha molto senso che io ti chieda la/le primitiva/e di questa funzione. Rispetto a che variabile? Rispetto a che direzione? Quindi, come vedi non è così che si parla di primitive in Analisi n, con n maggiore o uguale a 2.
Comunque esiste - e probabilmente l'hai vista o la vedrai a breve - un'estensione di questi concetti in dimensione superiore. A seconda del formalismo che si preferisce, c'è chi parla di campi conservativi (o solenoidali) e chi parla di forme differenziali chiuse ed esatte e di corrispondenti potenziali. Ma questa, come si dice di solito, è tutta un'altra storia.
Fossi stato nei tuoi panni, mi sarei risposto molto peggio xD Per questo mi sono dilungato per spiegare che non è che non sappia proprio niente. xD
Grazie per la spiegazione e in effetti la prof aveva omesso questa particolarità. Certo, se per le derivate in $R^n$ c'era il problema della direzione e verso, sarei dovuto arrivarci anche per gli integrali ma non era male se lo avesse precisato.
Ho già sentito "campi conservativi". Probabilmente è nel registro del corso e se non mi sbaglio è dopo gli integrali tripli, come ultimo capitolo.
Grazie di tutto!
Vorrei andare un attimo OT: non è che per caso spuntano fuori le equazioni differenziali in $R^n$ in analisi 2, vero? No perchè vorrei prepararmi all'infarto prima di sbatterci il naso. Se per vedere se una funzione è continua, bisogna fare tanti giri e rigiri che fino a qualche mese fa non mi sognavo nemmeno, non mi immagino le equazioni differenziali...
Grazie per la spiegazione e in effetti la prof aveva omesso questa particolarità. Certo, se per le derivate in $R^n$ c'era il problema della direzione e verso, sarei dovuto arrivarci anche per gli integrali ma non era male se lo avesse precisato.
Ho già sentito "campi conservativi". Probabilmente è nel registro del corso e se non mi sbaglio è dopo gli integrali tripli, come ultimo capitolo.
Grazie di tutto!
Vorrei andare un attimo OT: non è che per caso spuntano fuori le equazioni differenziali in $R^n$ in analisi 2, vero? No perchè vorrei prepararmi all'infarto prima di sbatterci il naso. Se per vedere se una funzione è continua, bisogna fare tanti giri e rigiri che fino a qualche mese fa non mi sognavo nemmeno, non mi immagino le equazioni differenziali...
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