Integrali di funzioni composte.....

[kioccolatino90]

Salve a tutti.. devo risolvere un semplice integrale: $int 1/(cosx)dx=int 1/(sen(pi/2-x))dx$ ora devo fare i procedimenti senza usare vie di mezzo io ho pensato di risolverlo in questo modo:

dato che per le formule di duplicazione si ha che $sin2x=2sinx* cosx$ allora $sin (pi/2-x)=sin 2(pi/4-x)=2sin (pi/4-x)*cos (pi/4-x)$ per cui l'integrale diventa:

$int 1/2 (sin^2 (pi/4-x)+cos^2 (pi/4-x))/(sin (pi/4-x)*cos (pi/4-x))dx= -int 1/2 (sin (pi/4-x))/(cos (pi/4-x))+ int 1/2 (cos (pi/4-x))/(sin (pi/4-x))dx$ la cui soluzione è: $-log |cos (pi/4-x)|+ log |sin (pi/4-x)|+ C$,

sfruttando le proprietà dei logaritmi abbiamo: $log|tan(pi/4-x)|+C$ è giusto?

[Giuly191]

ehm no, non lo puoi spezzare così. per spezzarlo usi la formula fondamentale della trigonometria che ti dice $ cos^2x + sen^2x = 1 $

[kioccolatino90]

quindi prima di spezzare viene: $int 1/(2cos^2x*2senx)dx=1/2int 1/(1-sen^2x*senx)dx= 1/2int 1/(1-sen^3x)dx$?

[Giuly191]

Ma che passaggi algebrici fai?? guarda bene i pasticci che hai fatto! In ogni caso è il numeratore, che essendo 1 puoi veder scritto come $ cos^2x + sen^2x $

[kioccolatino90]

scusatemi se sono stato assente.... comunque hai ragione scusami..... viene: $ int (cos^2x+sen^2x)/(2cos^2x*2senx)dx$ ora posso spezzare l'integrale e mi viene $ int (cos^2x)/(2cos^2x)dx+int (sen^2x)/(2senx)dx$ però non mi esce perchè semplifico e mi esce $int1/2dx+int (senx)/2dx$...

[Giuly191]

C'è un 2 di troppo nel denominatore della prima frazione che hai scritto! E in ogni caso non lo puoi spezzare così, non capisco che passaggio fai mentalmente, ma penso sia lo stesso errore di prima! Spezzandolo viene $ (cos^2x)/(2cos^2xsenx) + (sen^2x)/(2cos^2xsenx) = 1/(2senx) +(senx)/(2cos^2x)$

[kioccolatino90]

adesso la scomposizione è davvero chiaria!!!!! però non capisco come fa il secondo integrale $int 1/(2cos^2x)*sinx dx$ ad essere immediato cioè al numeratore devo avere la derivata del denomiratore che in parte c'è mi manca un coseno e un segno meno poichè la derivata di $Dcos^2x=-2cosx*senx$ quindi mi mancano un paio di cose..... come si è arrivato a quella conclusione? è un integrale semplicissimo mai a pensare che mi dava questi problemi....

[Giuly191]

Non è così semplice in realtà. Comunque se lo vedi come $ f(cosx) $ e sostituisci $ cosx = t $ devi risolvere $1/2int_()()t^-2dt $.

[kioccolatino90]

con la sostituzione mi viene $-1/(2cosx)$....ma senza la sostituzione come posso dimostrarlo?

[Giuly191]

Puoi anche evitare di farla, per quello dicevo che è immediato. Devi solo pensarci bene e capirlo intuitivamente, perchè è proprio questo il motivo per cui non ti torna e per cui, probabilmente ma magari mi sbaglio, non riusciresti ad applicarlo ad altri esercizi. Non è niente di difficile, pensaci bene e ci arrivi!

[kioccolatino90]

intuitivamente mi viene da pensare che quell'integrale è immediato perchè $int 1/(2cos^2x)*sinx dx= 1/2int (cosx)^-2 * sin x dx$ ora per l'integrali di funzioni composte e precisamente $int [f(x)]^alphadx= int[f(x)]^alpha*f'(x) dx= (f(x)^(alpha+1))/(alpha+1)+ C$ si ha che quell'integrale è uguale a:

$1/2(cos^(-1))/(-1)=-1/2cos^(-1)=-1/(2cosx)+C$... però non so se è questo il ragionamento a cui volevi farmi arrivare....

[Giuly191]

Esattamente quello! Solo hai sbagliato il segno, perchè la derivata di $ cosx $ è $-senx $!

[kioccolatino90]

ah si giusto, quando ho trasportato $1/2$ fuori dall'integrale dovevo moltiplicare per $-1$ perchè mi mancava, appunto come mi hai fatto notare, il meno......

[kioccolatino90]

il secondo integrale $int 1/(2sinx)dx$, invece, calcolato con le formule parametriche è uguale a $int (1+tg^2(x/2))/(2tg(x/2))dx=int1/(2tg(x/2))dx+int(tg^2(x/2))/(2tg(x/2))dx=$ $-1/2int(cos(x/2))/(sin(x/2))dx+1/2inttg(x/2)dx$;

adesso il primo è un integrale immediato e viene $-1/2log|sin(x/2)|+C$;

il secondo lo scrivo come $-1/2int(sin(x/2))/(cos(x/2))dx$ che è anch'esso un integrale immediato e viene $-1/2log|cos(x/2)|+C$??????