Integrali di funzioni composte.....
Salve a tutti.. devo risolvere un semplice integrale: $int 1/(cosx)dx=int 1/(sen(pi/2-x))dx$ ora devo fare i procedimenti senza usare vie di mezzo io ho pensato di risolverlo in questo modo:
dato che per le formule di duplicazione si ha che $sin2x=2sinx* cosx$ allora $sin (pi/2-x)=sin 2(pi/4-x)=2sin (pi/4-x)*cos (pi/4-x)$ per cui l'integrale diventa:
$int 1/2 (sin^2 (pi/4-x)+cos^2 (pi/4-x))/(sin (pi/4-x)*cos (pi/4-x))dx= -int 1/2 (sin (pi/4-x))/(cos (pi/4-x))+ int 1/2 (cos (pi/4-x))/(sin (pi/4-x))dx$ la cui soluzione è: $-log |cos (pi/4-x)|+ log |sin (pi/4-x)|+ C$,
sfruttando le proprietà dei logaritmi abbiamo: $log|tan(pi/4-x)|+C$ è giusto?
dato che per le formule di duplicazione si ha che $sin2x=2sinx* cosx$ allora $sin (pi/2-x)=sin 2(pi/4-x)=2sin (pi/4-x)*cos (pi/4-x)$ per cui l'integrale diventa:
$int 1/2 (sin^2 (pi/4-x)+cos^2 (pi/4-x))/(sin (pi/4-x)*cos (pi/4-x))dx= -int 1/2 (sin (pi/4-x))/(cos (pi/4-x))+ int 1/2 (cos (pi/4-x))/(sin (pi/4-x))dx$ la cui soluzione è: $-log |cos (pi/4-x)|+ log |sin (pi/4-x)|+ C$,
sfruttando le proprietà dei logaritmi abbiamo: $log|tan(pi/4-x)|+C$ è giusto?
Risposte
"domy90":
$sin (pi/2-x)=sin 2(pi/4-x)
Qualcosa non va.
A.
si giusto deve essere $sin2(pi/4-x/2)$... giusto?
Certamente. Ora torna?
A.
A.
ok ok ora torna....Essendo che con gli integrali non sono ancora pratico volevo postare altri esercizi......ho l'integrale $int dx/(sen^4x)$ come il precedente l'ho svolto ma non so se è fatto bene:
$int (cos^2x+sen^2x)/(sen^4x) dx=int (cos^2x)/(sen^4x) dx+int (sen^2x)/(sen^4x) dx= int (cos^2x)/(sen^2x)*1/(sen^2x) dx+int 1/(sen^2x)dx= int cot^2x* 1/(sen^2x)dx -cotx=-cotx -(cot^3x)/3+C$
$int (cos^2x+sen^2x)/(sen^4x) dx=int (cos^2x)/(sen^4x) dx+int (sen^2x)/(sen^4x) dx= int (cos^2x)/(sen^2x)*1/(sen^2x) dx+int 1/(sen^2x)dx= int cot^2x* 1/(sen^2x)dx -cotx=-cotx -(cot^3x)/3+C$
Sì quest'ultimo integrale l'hai svolto correttamente; ricorda che per verificare il risultato basta farne la derivata, e se ti ritrovi la funzione integranda, allora è tutto ok! 
ma si poteva applicare anche l'integrale di una funzione composta del tipo: $int 1/(f(x))*f'(x)dx= log|f(x)|+C$??? giusto?
In quale passaggio in particolare ti riferisci? io non ne vedo di integrali che si potevano risolvere con quella regoletta.. 
dall'inizio abbiamo l'integrale $int 1/(sen^4x)dx$ mi manca solo la derivata al numeratore di $sen^4x$...e penso che poi si possa risolvere....oppure mi sbaglio?
La derivata di [tex]$f(x) = \sin^{4}x$[/tex] è [tex]$f'(x) = 4\sin^{3}x\cos x$[/tex] come faresti a far comparire tale espressione, o altre equivalenti al numeratore? semplice curiosità la mia 
in un esercizio simile ho lo stesso problema che il prof. ha risolto semplicemente aggiungendo nell'integrale la derivata della funzione quindi nel caso che ho io verrebbe:
$int 1/(sin^4x)*4sin^3x*cosx dx$ che è uguale a $log|sin^4x|+C$ solo che poi non so come si fa a far comparire l'arcotangente e tutta quell'altra roba....
$int 1/(sin^4x)*4sin^3x*cosx dx$ che è uguale a $log|sin^4x|+C$ solo che poi non so come si fa a far comparire l'arcotangente e tutta quell'altra roba....
"domy90":
in un esercizio simile ho lo stesso problema che il prof. ha risolto semplicemente aggiungendo nell'integrale la derivata della funzione
Dovrei vedere l'integrale per capirlo meglio, detto così è troppo generico..
"domy90":
$int 1/(sin^4x)*4sin^3x*cosx dx$ che è uguale a $log|sin^4x|+C$ solo che poi non so come si fa a far comparire l'arcotangente e tutta quell'altra roba....
Cosa c'entra l'arcotangente in quell'integrale? cerca di essere più chiaro..
ok ora cerco di farmi capire meglio....
allora l'esercizio che dicevo risolto dal prof è: $int (cosx)/(1+sinx) dx$ e ha detto che per risolvere questo integrale al numeratore deve comparire la derivata di $1+sinx$ e l'integrale diventa:
$int (cosx)/(1+sinx)*d(1+sinx) dx=int (cosx)/(1+sinx)*cosx dx$ che è uguale a $log|(1+sinx)|+C$;
ora nell'integrale che ho postato io:
$int 1/(sen^4x) dx$ e che risolvendolo mi è uscito $-cotx-(cot^3x)/3+C$, è simile anzi è molto più immediato risolverlo con le formule per gli integrali di funzioni composte è quindi uscirebbe:
$int 1/(sen^4x) d(sen^4x) dx= int 1/(sen^4x) (4sin^3x*cosz) dx= log|(sen^4x)|+C$, solo che ora il risultato non coincide con $-cotx-(cot^3x)/3+C$; so che l'esercizio chiede di risolverlo senza le formule ma volevo capire perchè non si trovano i risultati...
[EDIT]scusa ho sbagliato a scrivere ho detto arcotangente anzicchè cotangente...scusa
allora l'esercizio che dicevo risolto dal prof è: $int (cosx)/(1+sinx) dx$ e ha detto che per risolvere questo integrale al numeratore deve comparire la derivata di $1+sinx$ e l'integrale diventa:
$int (cosx)/(1+sinx)*d(1+sinx) dx=int (cosx)/(1+sinx)*cosx dx$ che è uguale a $log|(1+sinx)|+C$;
ora nell'integrale che ho postato io:
$int 1/(sen^4x) dx$ e che risolvendolo mi è uscito $-cotx-(cot^3x)/3+C$, è simile anzi è molto più immediato risolverlo con le formule per gli integrali di funzioni composte è quindi uscirebbe:
$int 1/(sen^4x) d(sen^4x) dx= int 1/(sen^4x) (4sin^3x*cosz) dx= log|(sen^4x)|+C$, solo che ora il risultato non coincide con $-cotx-(cot^3x)/3+C$; so che l'esercizio chiede di risolverlo senza le formule ma volevo capire perchè non si trovano i risultati...
[EDIT]scusa ho sbagliato a scrivere ho detto arcotangente anzicchè cotangente...scusa
"domy90":
allora l'esercizio che dicevo risolto dal prof è: $int (cosx)/(1+sinx) dx$
Ma in questo integrale, al numeratore della funzione integranda, la derivata del denominatore, cioè [tex]$f(x)=1+\sin x$[/tex] c'è già! [tex]$f'(x) = \cos x$[/tex] quindi non capisco i passaggi.. almeno per quanto ne ho capito io l'anno scorso ad Analisi 1, questo integrale è immediato senza alcun passaggio:
[tex]$\int \frac{\cos x}{1 + \sin x} \ dx = \log|1 + \sin x| + c$[/tex]
"domy90":
$int 1/(sen^4x) d(sen^4x) dx= int 1/(sen^4x) (4sin^3x*cosz) dx= log|(sen^4x)|+C$
A me questi passaggi non sono chiari per niente, e secondo me non hanno alcun senso.. sicuro che nel 1° integrale, il tuo prof. abbia scritto tutti quei passaggi? perchè è questo che ti confonde secondo me.. come può comparire dal nulla la derivata di tale funzione presente al denominatore(parlo di quest'ultimo)..
"Angelo D.":
[...] sicuro che nel 1° integrale, il tuo prof. abbia scritto tutti quei passaggi?
sicuramente devo aver copiato male l'esercizio...lunedì chiedo ai compagni...
"Angelo D.":
[...] come può comparire dal nulla la derivata di tale funzione presente al denominatore[...]
infatti ora mi chiedo lo stesso pure io di solito ha un prezzo tipo moltiplicare e dividere ecc...
poi ho un integrale che sembra sempliciotto ma invece è abbastanza complicato è simile a al primo che ho postato.... $int 1/(cosx*sen2x) dx$ essendo $sen2x= 2senx*cosx$ possiamo scrivere allora:
$int 1/(cosx*2senx*cosx)dx= int 1/(cos^2x*2senx)dx$ poi volevo spezzare la funzione ma non si può fare, come posso procedere?.....
$int 1/(cosx*2senx*cosx)dx= int 1/(cos^2x*2senx)dx$ poi volevo spezzare la funzione ma non si può fare, come posso procedere?.....
anzi no ho sbagliato l'integrale diventa: $int 1/(2cosx*2senx)dx=1/2int (cos^2x+sen^2x)/(cosx*senx)dx=-int 1/2 (senx)/(cosx)dx+int 1/2 (cosx)/(senx)dx= -log|cosx|+log|senx|+C= log|tangx|+C$.... è giusto?
No.. [tex]$\sin(2x) = 2\sin x\cos x$[/tex] è giusta questa identità, solo che risolvere l'integrale che ne consegue non è facile, ci devo pensare..
Ho provato a risolverlo prima, dovrebbe essere così:
$ int_()^() 1/(2sinx)dx + int_()^()1/(2cos^2x)*sinxdx $
il primo si può risolvere con le formule parametriche, mentre il secondo è immediato e viene $ 1/(2cosx) + c $
potreste dirmi se è giusto?
$ int_()^() 1/(2sinx)dx + int_()^()1/(2cos^2x)*sinxdx $
il primo si può risolvere con le formule parametriche, mentre il secondo è immediato e viene $ 1/(2cosx) + c $
potreste dirmi se è giusto?
"Giuly19":
Ho provato a risolverlo prima, dovrebbe essere così:
$ int_()^() 1/(2sinx)dx + int_()^()1/(2cos^2x)*sinxdx $
Sì la scomposizione va benissimo! non mi era venuta in mente..
"Giuly19":
il secondo è immediato e viene $ 1/(2cosx) + c $
Certo va bene! brava
un attimo vediamo se ho capito bene: $int 1/(cosx*sen2x) dx=$ $int 1/(cosx*2senx*cosx)dx= int 1/(2cos^2x*2senx)dx$; poi spezzo l'integrale $ int 1/(2cos^2x)dx+ int 1/(2senx)dx$ però non ho capito come fa a comparire $sinx$....
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