Integrali di due funzioni razionali

[mambodisera]

Integrali di due funzioni razionali

$int 1/(x^4-3*x^3)$

$int 1/(x*(1+x^2)^(3/2))$


Qualche buon anima può dirmi come si risolvono?

complimenti per il metodo di input! veramente bello, facile ed intuitivo!

[Camillo]

Per rendere integrabile il primo va manipolata la funzione integranda in modo da ricondurla alla somma di fratti semplici , cioè per prima cosa :
$1/(x^4-3x^3 )=1/(x^3*(x-3) $ e poi va scomposta in :

$ 1/(x^3*(x-3)) = A/x^3 +B/x^2 +C/x +D/(x-3) $ ; questo in quanto x= 0 è radice tripla del denominatore , mentre x=3 è radice semplice .

Adesso si devono determinare le costanti incognite A,B,C,D e facendo i conti si ottiene :

$(Ax-3A+Bx^2-3Bx+Cx^3-3Cx^2+Dx^3)/(x^3(x-3)) = 1/(x^3(x-3))$
Poichè quanto scritto sopra deve essere una identità si arriva a questo sistema :

$-3A = 1$
$C+D = 0$
$-3C+ B= 0$
$-3B+A = 0$

che risolto dà :
$ A = -1/3, B = -1/9, C= -1/27, D = 1/27 $ e quindi la funzione integranda diventa :

$ -1/(3x^3) -1/(9x^2) -1/(27x) +1/(27(x-3)) $

che è la somma di funzioni immediatamente integrabili e che ti lascio da risolvere .

Camillo

[mambodisera]

Grazie per la prima, avevo sbagliato il denominatore di $x^3$

[Sk_Anonymous]

2°
Si tratta di un integrale binomio e si risolve con la posizione $1+x^2=t^2$.
Fatti tutti i calcoli (un po' lunghi per la verita') si trova come risultato finale
il seguente:
$int 1/(x*(1+x^2)^(3/2))=1/sqrt(1+x^2)+1/2ln(sqrt(1+x^2)-1)-1/2ln(sqrt(1+x^2)+1)+C$
Archimede

[mambodisera]

"archimede":2°
Si tratta di un integrale binomio e si risolve con la posizione $1+x^2=t^2$.
Fatti tutti i calcoli (un po' lunghi per la verita') si trova come risultato finale
il seguente:
$int 1/(x*(1+x^2)^(3/2))=1/sqrt(1+x^2)+1/2ln(sqrt(1+x^2)-1)-1/2ln(sqrt(1+x^2)+1)+C$
Archimede

infatti questo esercizio era segnato con l'asterisco ad indicare che era lungo infatti è l'ultimo che devo fare
dopo passo a 5 ex sugli integrali impropri e poi a quelli dei vecchi testi degli appelli precedenti

[mambodisera]

Grazie, risolto anche l'ultimo!
Ho l'esame ai primi di gennaio

[Anto37]

Scusa mambodisera, anch'io ho l'esame ai primi di gennaio, potremmo scambiarci qualche esercizio (magari in privato) eppoi confrontare i risultati?
Ad esempio potresti inviarmi gli altri esercizi che devi fare? Volevo cimentarmi....
Eppoi volevo sapere: tu che testi usi?

Grazie.

[Anto37]

x archimede:
non mi tornano i calcoli (sicuramente sono sbagliati i miei xo' vorrei capire DOVE sbaglio).

Ok per la sostituzione che mi consente di arrivare a

$int 1/(sqrt(t-1) * (t^2)^(3/2)) * t/sqrt(t-1) dt $, corretto?

ovvero $int 1/(t^2(t-1)) dt $

$int 1/(t^2(t-1)) dt = A/t^2 + B/t + C/(t-1) $

= $(At-A+Bt^2-Bt+Ct^2)/(t^2(t-1)) = $

che produce :
$A=-1$
$B=-1$
$C=1$

...

Dove sbaglio ?