Integrali definiti con radice e con logaritmo

[Ede1]

Buongiorno ragazzi, in questi giorni stiamo affrontando l'argomento integrali definiti, ma ho avuto alcuni problemi con le radici e i logaritmi. Potreste aiutarmi a risolvere questi due esercizi, mostrandomi i passaggi?

Grazie

$ y= sqrt (16-x^2) [-4;4] $

$ y= log(x) [1;10] $

[Studente Anonimo]

Per il primo proverei la sostituzione $x=4 \cos(t)$ e per il secondo proverei per parti scrivendo $\log(x)=\log(x)*1$.

Edit: ho corretto il coefficiente.

[pilloeffe]

Ciao Ede,

Il primo integrale proposto si può risolvere anche "a vista", osservando che elevando al quadrato si ottiene l'equazione di una circonferenza di raggio $r = 4$: $x^2 + y^2 = 4^2 $
Dunque l'integrale proposto corrisponde alla superficie della metà del cerchio che sta sopra l'asse $x$, cioè $frac{\pi r^2}{2} = 8\pi $:

$ int_{-4}^4 sqrt{16 - x^2} dx = 8\pi $

Più in generale si ha:

$ int_{-r}^r sqrt{r^2 - x^2} dx = frac{\pi r^2}{2} $

Per il secondo integrale proposto invece seguirei il suggerimento che ti ha già dato Martino, dato che anch'io ricordo che quello del logaritmo è stato uno dei primissimi esempi di integrali da risolvere per parti...