Integrali definiti
Ciao, avrei bisogno di una rispolverata per quanto riguarda gli integrali definiti in cui compare nell'intervallo + o - infinito. Si risolvono come i normali integrali definiti, cioè sostituendo, o dove applicare qualche regola particolare?
Grazie
Grazie
Risposte
Quel tipo di integrali che citi, ossia quelli che presentano un intervallo di integrazione illimitato (che siano illimitati solo su una semiretta destra o sinistra oppure su tutto $\mathbb{R}$), sono detti integrali impropri (o generalizzati).
La tecnica di risoluzione dipende da caso a caso e dalla richiesta che viene fatta: chiaramente, se è possibile integrare direttamente con le consuete tecniche puoi farlo; ne consegue che il risultato della primitiva ti dirà che tipo di comportamento ha l'integrale.
Molto spesso però gli integrali sono molto laboriose da calcolare o addirittura gli integrali non ammettono una primitiva che possa essere espressa tramite funzioni elementari; pertanto ci sono dei criteri e teoremi che ti permettono di stabilire il comportamento dell'integrale.
Per quanto riguarda tutto ciò che tratta cosa sono questi integrali impropri (e come si trattano formalmente), non posso che rimandarti a un libro di testo che ne discute; non si può di certo parlare in maniera esauriente della teoria dell'integrazione impropria in pochi post di forum
giusto per dare un breve accenno al caso di cui parli, si pone per definizione
$$\int_a^{+\infty} f(x)dx:=\lim_{\gamma\to+\infty}\int_a^\gamma f(x)dx$$
Pertanto poi si procede come se fosse un normale integrale definito nell'intervallo $[a,\gamma]$ e si passa al limite della primitiva: come detto prima, il risultato di tale limite ti dirà se tale integrale è finito, non è finito oppure è indeterminato.
La tecnica di risoluzione dipende da caso a caso e dalla richiesta che viene fatta: chiaramente, se è possibile integrare direttamente con le consuete tecniche puoi farlo; ne consegue che il risultato della primitiva ti dirà che tipo di comportamento ha l'integrale.
Molto spesso però gli integrali sono molto laboriose da calcolare o addirittura gli integrali non ammettono una primitiva che possa essere espressa tramite funzioni elementari; pertanto ci sono dei criteri e teoremi che ti permettono di stabilire il comportamento dell'integrale.
Per quanto riguarda tutto ciò che tratta cosa sono questi integrali impropri (e come si trattano formalmente), non posso che rimandarti a un libro di testo che ne discute; non si può di certo parlare in maniera esauriente della teoria dell'integrazione impropria in pochi post di forum
giusto per dare un breve accenno al caso di cui parli, si pone per definizione$$\int_a^{+\infty} f(x)dx:=\lim_{\gamma\to+\infty}\int_a^\gamma f(x)dx$$
Pertanto poi si procede come se fosse un normale integrale definito nell'intervallo $[a,\gamma]$ e si passa al limite della primitiva: come detto prima, il risultato di tale limite ti dirà se tale integrale è finito, non è finito oppure è indeterminato.
Grazie
Se "non converge" che significa? non posso risolverlo?
Se "non converge" che significa? non posso risolverlo?
Prego!
Non convergente significa che o è indeterminato o è divergente.
Divergente significa che l'integrale improprio vale $+\infty$ o $-\infty$, ossia che il limite della primitiva tende a $+\infty$ o $-\infty$.
Degli esempi molto semplici sono i seguenti: questo è un integrale improprio con estremo di integrazione illimitato convergente
$$\int_{2018}^{+\infty} \frac{1}{x^2}$$
Perché, per definizione
$$\int_{2018}^{+\infty} \frac{1}{x^2}:=\lim_{\zeta\to+\infty}\int_{2018}^{\zeta} \frac{1}{x^2}=\lim_{\zeta\to+\infty} \left[-\frac{1}{x}\right]_{2018}^{\zeta}=\lim_{\zeta\to+\infty} \left(-\frac{1}{\zeta}+\frac{1}{2018}\right)=\frac{1}{2018}<+\infty$$
Invece l'integrale
$$\int_{2018}^{+\infty} dx$$
Diverge positivamente, in quanto
$$\int_{2018}^{+\infty} dx :=\lim_{\phi\to+\infty}\int_{2018}^{\phi} dx=\lim_{\phi\to+\infty} \left[x\right]_{2018}^{\phi}=\lim_{\phi\to+\infty}\left(\phi-2018\right)=+\infty$$
Il caso di integrale improprio indeterminato è un po' più delicato e avrai modo di approfondirlo quando avrai più dimestichezza sull'argomento, comunque è per indicare quando succedono situazioni di tipo indeterminato come $+\infty-\infty$ che, nel caso degli integrali impropri, non sono così facili da chiarire come nei limiti.
Non convergente significa che o è indeterminato o è divergente.
Divergente significa che l'integrale improprio vale $+\infty$ o $-\infty$, ossia che il limite della primitiva tende a $+\infty$ o $-\infty$.
Degli esempi molto semplici sono i seguenti: questo è un integrale improprio con estremo di integrazione illimitato convergente
$$\int_{2018}^{+\infty} \frac{1}{x^2}$$
Perché, per definizione
$$\int_{2018}^{+\infty} \frac{1}{x^2}:=\lim_{\zeta\to+\infty}\int_{2018}^{\zeta} \frac{1}{x^2}=\lim_{\zeta\to+\infty} \left[-\frac{1}{x}\right]_{2018}^{\zeta}=\lim_{\zeta\to+\infty} \left(-\frac{1}{\zeta}+\frac{1}{2018}\right)=\frac{1}{2018}<+\infty$$
Invece l'integrale
$$\int_{2018}^{+\infty} dx$$
Diverge positivamente, in quanto
$$\int_{2018}^{+\infty} dx :=\lim_{\phi\to+\infty}\int_{2018}^{\phi} dx=\lim_{\phi\to+\infty} \left[x\right]_{2018}^{\phi}=\lim_{\phi\to+\infty}\left(\phi-2018\right)=+\infty$$
Il caso di integrale improprio indeterminato è un po' più delicato e avrai modo di approfondirlo quando avrai più dimestichezza sull'argomento, comunque è per indicare quando succedono situazioni di tipo indeterminato come $+\infty-\infty$ che, nel caso degli integrali impropri, non sono così facili da chiarire come nei limiti.
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