Integrali curvilinei funzioni NON olomorfe
Salve a tutti. Questo è il mio primo post. Tra pochi giorni dovrò sostenere l'esame di analisi 2, e spero che qualcuno di voi possa darmi dei chiarimenti in merito all'esercizio numero 3 di questo testo http://www.mat.uniroma2.it/~tauraso/aa1 ... 7-2013.pdf
Ho visto che qualcuno ha già chiesto un aiuto, senza ricevere risposta... spero di esser più fortunata!
Io ho ragionato in questo modo: entrambe le funzioni non sono olomorfe, e quindi l'unica possibilità di risoluzione che mi è venuta in mente è quella del calcolo diretto... dal momento che z=x+iy, ho sostituito, ma il problema è quel "-1" a denominatore.
Se gamma fosse stata centrata in (1,0) quel fattore sarebbe sparito, quindi forse si dovrebbe fare una sorta di traslazione, per risolvere il problema, solo che non riesco proprio ad andare avanti!
E ho un altro dubbio anche riguardo l'esercizio 4 (http://www.mat.uniroma2.it/~tauraso/aa1 ... 7-2013.pdf)
Io l'ho svolto ponendo $ e^(2z) = k $ a denominatore, e trovando dunque che $ k $ si annulla in $ -9 $ e in $ -1 $ .
Pertanto $ e^z $ ha come radici $ +- 3i, +- i $ .
Voglio calcolare l'integrale con i residui, e pertanto, scegliendo come riferimento la semicirconferenza positiva, il risultato finale sarà dato da $ 2pi i(Res(f,i) + Res(f,3i)) $ .
E a questo punto arriva il mio dubbio... io ho ragionato come se tali singolarità fossero di ordine 1, e quindi, poichè il denominatore si annulla in $ i $ e in $ 3i $, lo derivo, e poi sostituisco a $ e^z $ la singolarità.
Quindi avrò:
$ Res(f,i) = ((e^(3z)-e^z)/(4e^(4z)+20e^(2z)),i) $
solo che non effettuo la sostituzione $ z = i $ , ma $ e^z = i $. E' corretta questa impostazione?
Stesso ragionamento con l'altra singolarità.
Il problema è che $ e^z = i $ è valida non solo in $ pi /2 $ , ma in $ pi /2 + 2kpi $ , e quindi forse è errato considerare le singolarità come isolate.
Ho visto che qualcuno ha già chiesto un aiuto, senza ricevere risposta... spero di esser più fortunata!
Io ho ragionato in questo modo: entrambe le funzioni non sono olomorfe, e quindi l'unica possibilità di risoluzione che mi è venuta in mente è quella del calcolo diretto... dal momento che z=x+iy, ho sostituito, ma il problema è quel "-1" a denominatore.
Se gamma fosse stata centrata in (1,0) quel fattore sarebbe sparito, quindi forse si dovrebbe fare una sorta di traslazione, per risolvere il problema, solo che non riesco proprio ad andare avanti!
E ho un altro dubbio anche riguardo l'esercizio 4 (http://www.mat.uniroma2.it/~tauraso/aa1 ... 7-2013.pdf)
Io l'ho svolto ponendo $ e^(2z) = k $ a denominatore, e trovando dunque che $ k $ si annulla in $ -9 $ e in $ -1 $ .
Pertanto $ e^z $ ha come radici $ +- 3i, +- i $ .
Voglio calcolare l'integrale con i residui, e pertanto, scegliendo come riferimento la semicirconferenza positiva, il risultato finale sarà dato da $ 2pi i(Res(f,i) + Res(f,3i)) $ .
E a questo punto arriva il mio dubbio... io ho ragionato come se tali singolarità fossero di ordine 1, e quindi, poichè il denominatore si annulla in $ i $ e in $ 3i $, lo derivo, e poi sostituisco a $ e^z $ la singolarità.
Quindi avrò:
$ Res(f,i) = ((e^(3z)-e^z)/(4e^(4z)+20e^(2z)),i) $
solo che non effettuo la sostituzione $ z = i $ , ma $ e^z = i $. E' corretta questa impostazione?
Stesso ragionamento con l'altra singolarità.
Il problema è che $ e^z = i $ è valida non solo in $ pi /2 $ , ma in $ pi /2 + 2kpi $ , e quindi forse è errato considerare le singolarità come isolate.
Risposte
A me pare che nel primo problema tu debba calcolare il residuo delle funzioni nel punto $z=1$. Certo, la presenza delle parti reali e quelle immaginarie è una seccatura, però io osserverei che
$$I_1+i I_2=\int_\gamma\frac{z\cdot z}{z-1}\ dz,\qquad I_1-i I_2=\int_\gamma\frac{z\cdot \bar{z}}{z-1}\ dz$$
per cui una volta calcolati questi due integrali, col teorema dei residui, puoi ricavare i valori di $I_1,\ I_2$.
$$I_1+i I_2=\int_\gamma\frac{z\cdot z}{z-1}\ dz,\qquad I_1-i I_2=\int_\gamma\frac{z\cdot \bar{z}}{z-1}\ dz$$
per cui una volta calcolati questi due integrali, col teorema dei residui, puoi ricavare i valori di $I_1,\ I_2$.
Grazie per avermi risposto 
in ogni caso sono riuscita a venire a capo di questo esercizio.
Bastava infatti effettuare le seguenti sostituzioni:
$ z(t) = 2e^(it) $
$ x(t)=2cost = e^(it)+e^(-it) $
$ y(t)=2sint = (e^(it)-e^(-it))/i $
e si otteneva una funzione olomorfa.
Il problema ora rimane l'altro esercizio
in ogni caso sono riuscita a venire a capo di questo esercizio.Bastava infatti effettuare le seguenti sostituzioni:
$ z(t) = 2e^(it) $
$ x(t)=2cost = e^(it)+e^(-it) $
$ y(t)=2sint = (e^(it)-e^(-it))/i $
e si otteneva una funzione olomorfa.
Il problema ora rimane l'altro esercizio
Nessuna idea? Io non sò proprio come poter gestire il fatto che la singolarità sia "infinita" per colpa della periodicità, cioè che esistono infiniti termini in cui il denominatore si annulla... il risultato deve venire $ pi/12 $ ...
Io non sò proprio come poter gestire il fatto che la singolarità sia "infinita" per colpa della periodicità, cioè che esistono infiniti termini in cui il denominatore si annulla... il risultato deve venire $ pi/12 $ ...
Olomorfa? Scusami, per curiosità, e come farebbe ad esserlo dal momento che a denominatore ti resta $z-1$ che si annulla all'interno della circonferenza?
Chiedo scusa! Errore mio intendevo dire che la funzione risulta essere olomorfa ovunque, tranne che nel punto z=1 (che del resto è la stessa situazione che si aveva all'inizio).
Ma per risolvere l'integrale con il metodo dei residui era necessario fare quelle sostituzioni.
Per caso hai idea del come svolgere l'altro esercizio?
intendevo dire che la funzione risulta essere olomorfa ovunque, tranne che nel punto z=1 (che del resto è la stessa situazione che si aveva all'inizio).Ma per risolvere l'integrale con il metodo dei residui era necessario fare quelle sostituzioni.
Per caso hai idea del come svolgere l'altro esercizio?
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