Integrali curvilinei e campi vettoriali: dubbio
Salve ragazzi,ho un dubbio concettuale circa la risoluzione di questo esercizio sui campi vettoriali.
In pratica mi assegna il classico campo vettoriale definito in R2 e a valori in R2, ho verificato che è irrotazionale ma il suo dominio di definizione non è semplicemente connesso quindi non posso dire nulla circa la conservatività del campo.
Dato che il dominio di F(x,y) (il mio campo vettoriale) è tutto R2 tranne il punto (0,0) per verificare la conservatività ho effettuato l'integrale curvilineo esteso ad una curva allacciata all'origine (ho usato una circonferenza di raggio pari ad 1 centrata nell'origine) ed esso non risultava nullo. Quindi il campo non è conservativo nel dominio di F(x,y).
Ma il problema è il seguente: l'ultima richiesta dell'esercizio è di stabilire senza effettuare calcoli quanto vale l'integrale curvilineo esteso ad un triangolo di vertici assegnati definito nel piano x-y.Ora se il campo non è conservativo non deve valere zero, e allora come faccio a dire il valore senza calcolare nulla?
Grazie in anticipo a tutti.
In pratica mi assegna il classico campo vettoriale definito in R2 e a valori in R2, ho verificato che è irrotazionale ma il suo dominio di definizione non è semplicemente connesso quindi non posso dire nulla circa la conservatività del campo.
Dato che il dominio di F(x,y) (il mio campo vettoriale) è tutto R2 tranne il punto (0,0) per verificare la conservatività ho effettuato l'integrale curvilineo esteso ad una curva allacciata all'origine (ho usato una circonferenza di raggio pari ad 1 centrata nell'origine) ed esso non risultava nullo. Quindi il campo non è conservativo nel dominio di F(x,y).
Ma il problema è il seguente: l'ultima richiesta dell'esercizio è di stabilire senza effettuare calcoli quanto vale l'integrale curvilineo esteso ad un triangolo di vertici assegnati definito nel piano x-y.Ora se il campo non è conservativo non deve valere zero, e allora come faccio a dire il valore senza calcolare nulla?
Grazie in anticipo a tutti.
Risposte
Dipende da dove è messo il triangolo nel piano se ho capito bene..mettiamo ad esempio che il triangolo sia tutto contenuto nel primo quadrante, allora puoi restringere il tuo dominio al primo quadrante esclusi gli assi: avresti così un dominio addirittura aperto convesso e se il campo verificasse le condizioni di conservatività in questo nuovo dominio allora risulterebbe che l'integrale è pari a $0$.
Grazie anzitutto della risposta.E se il mio triangolo fosse allacciato all'origine sempre nell'ipotesi di campo non conservativo nel dominio di F, anche in questo caso avrei potuto trovare una restrizione del dominio di F in cui,verificata la conservatività, l'integrale sarebbe stato nullo?Mi sorge questo dubbio in quanto nello stesso esercizio mi fa calcolare l'integrale su una ellisse allacciata all'origine e risulta diverso da zero.
Grazie ancora per la disponibilita
Grazie ancora per la disponibilita
Innanzitutto prego, è sempre un piacere 
. Purtroppo no, se la linea chiusa abbraccia uno dei punti di discontinuità l'integrale verrà diverso da zero. La conservatività come saprai è legata non solo al campo ma anche al dominio: se il cammino lungo il quale integri "abbraccia" un buco del dominio allora l'integrale darà un risultato diverso da zero perchè non riesci a trovare una restrinzione del dominio a un insieme aperto anche solo semplicemente connesso che contenga la curva ma non la singolarità; mi pare che in fisica si chiamino pozzi se il risultato è negativo, sorgenti se è positivo.
. Purtroppo no, se la linea chiusa abbraccia uno dei punti di discontinuità l'integrale verrà diverso da zero. La conservatività come saprai è legata non solo al campo ma anche al dominio: se il cammino lungo il quale integri "abbraccia" un buco del dominio allora l'integrale darà un risultato diverso da zero perchè non riesci a trovare una restrinzione del dominio a un insieme aperto anche solo semplicemente connesso che contenga la curva ma non la singolarità; mi pare che in fisica si chiamino pozzi se il risultato è negativo, sorgenti se è positivo.
Mi sa che di "pozzi" e "sorgenti" si parla in riferimento al flusso uscente da una superficie (o, nel piano, da una curva) chiusa, non in riferimento ad una circuitazione. Ma potrei benissimo sbagliarmi.
Perfetto.Ma ora non mi spiego perchè talune volte calcolando l'integrale su una curva chiusa che abbraccia la discontinuità del dominio (l'origine (0,0) nel mio caso) risulta un valore nullo, in virtù del quale posso affermare la conservatività del campo vettoriale.Tipicamente infatti quando ho un campo irrotazionale ma con dominio non semplicemente connesso non posso dire nulla sulla conservatività a meno che non calcolo l'integrale curvilineo del campo F su una curva chiusa allacciata all'origine (ad esempio una circonferenza unitaria). A volte capita appunto che tale integrale sia nullo pur abbracciando l'origine(che non appartiene difatti al dominio del campo)...
Evidentemente c'è qualcosa che spiega il tutto ma che in questo momento non ho ben presente...
Grazie ancora, è un piacere colloquiare con gente cosi disponibile e preparata.
Evidentemente c'è qualcosa che spiega il tutto ma che in questo momento non ho ben presente...
Grazie ancora, è un piacere colloquiare con gente cosi disponibile e preparata.
Effettivamente può essere un'imprecisione mia, il mio appunto a cui facevo riferimento è però legato all'applicazione del teorema di Green per regioni molteplicemente connesse per cui potrebbe anche essere fuori posto.
Comunque se ho capito bene provo a risponderti (correggetemi se sbaglio..
):
i campi vettoriali si dividono in conservativi e non conservativi, i primi si possono vedere come gradienti di opportuni campi scalari mentre i secondi no.
Ora, è equivalente dire le seguenti cose:
1. il campo vettoriale è gradiente di un campo scalare (cioè è conservativo);
2. l'integrale del campo lungo una linea chiusa è nullo;
3. l'integrazione non dipende dagli estremi.
Quindi in virtù di questo vi sono alcune condizioni necessarie e/o sufficienti per affermare che un campo vettoriale sia o meno un gradiente, quella a cui ricorri tu dovrebbe essere questa:
Sia $F(x,y)$ un campo vettoriale da $I sube RR^2$ in $RR^2$, supponiamo $F(x,y) = (p(x,y),q(x,y))$, se $(delq)/(delx)=(delp)/(dely)$ e $I$ semplicemente connesso allora $F(x,y)$ è conservativo.
Questa è una condizione necessaria e sufficiente per dire che $F(x,y)$ è conservativo. Tuttavia può capitare che tu abbia un dominio non semplicemente connesso ma un campo vettoriale conservativo, in tal caso il teorema di sopra non ti aiuta perchè manca un'ipotesi, però se verifichi integrando intorno a una singolarità che l'integrale è nullo allora puoi dire che è conservativo in virtù delle proposizioni equivalenti di sopra.
Spero di essere stato il più chiaro possibile..
Comunque se ho capito bene provo a risponderti (correggetemi se sbaglio..
):i campi vettoriali si dividono in conservativi e non conservativi, i primi si possono vedere come gradienti di opportuni campi scalari mentre i secondi no.
Ora, è equivalente dire le seguenti cose:
1. il campo vettoriale è gradiente di un campo scalare (cioè è conservativo);
2. l'integrale del campo lungo una linea chiusa è nullo;
3. l'integrazione non dipende dagli estremi.
Quindi in virtù di questo vi sono alcune condizioni necessarie e/o sufficienti per affermare che un campo vettoriale sia o meno un gradiente, quella a cui ricorri tu dovrebbe essere questa:
Sia $F(x,y)$ un campo vettoriale da $I sube RR^2$ in $RR^2$, supponiamo $F(x,y) = (p(x,y),q(x,y))$, se $(delq)/(delx)=(delp)/(dely)$ e $I$ semplicemente connesso allora $F(x,y)$ è conservativo.
Questa è una condizione necessaria e sufficiente per dire che $F(x,y)$ è conservativo. Tuttavia può capitare che tu abbia un dominio non semplicemente connesso ma un campo vettoriale conservativo, in tal caso il teorema di sopra non ti aiuta perchè manca un'ipotesi, però se verifichi integrando intorno a una singolarità che l'integrale è nullo allora puoi dire che è conservativo in virtù delle proposizioni equivalenti di sopra.
Spero di essere stato il più chiaro possibile..
Qualche piccola imprecisione:
Sia $F$ un campo vettoriale di classe $C^2$ in $Omega - {x_0}$, dove $Omega$ è un aperto semplicemente connesso. Se $F$ è irrotazionale (oppure, nel piano, se $F$ verifica $(delq)/(delx)=(delp)/(dely)$) ed esiste una curva chiusa $gamma$ che si avvolge intorno ad $x_0$ t.c. $oint_{gamma}F*t "d"s=0$, allora $F$ è conservativo.
In altri termini, anche se dovremmo controllare che tutte le circuitazioni sono non nulle, in questo caso particolare ci basta trovarne una sola non nulla per concludere che $F$ è conservativo.
"EnderWiggins":Non "una", ma "tutte" le curve chiuse.
Ora, è equivalente dire le seguenti cose:
1. il campo vettoriale è gradiente di un campo scalare (cioè è conservativo);
2. l'integrale del campo lungo una linea chiusa è nullo;
3. l'integrazione non dipende dagli estremi.
Sia $F(x,y)$ un campo vettoriale da $I sube RR^2$ in $RR^2$, supponiamo $F(x,y) = (p(x,y),q(x,y))$, se $(delq)/(delx)=(delp)/(dely)$ e $I$ semplicemente connesso allora $F(x,y)$ è conservativo.Giusto, andrebbe specificata una ipotesi in più: $F$ deve essere sufficientemente regolare (di classe $C^2$ per la precisione).
Questa è una condizione necessaria e sufficiente per dire che $F(x,y)$ è conservativo......nei domini semplicemente connessi. Solo necessaria nei domini non semplicemente connessi.
Tuttavia può capitare che tu abbia un dominio non semplicemente connesso ma un campo vettoriale conservativo, in tal caso il teorema di sopra non ti aiuta perchè manca un'ipotesi, però se verifichi integrando intorno a una singolarità che l'integrale è nullo allora puoi dire che è conservativo in virtù delle proposizioni equivalenti di sopra.Eh, no, non è così semplice. Perché un campo sia conservativo è necessario e sufficiente che tutte le circuitazioni (=integrali di linea su curve chiuse) siano nulle. Il teorema a cui ti riferisci tu dice:
Sia $F$ un campo vettoriale di classe $C^2$ in $Omega - {x_0}$, dove $Omega$ è un aperto semplicemente connesso. Se $F$ è irrotazionale (oppure, nel piano, se $F$ verifica $(delq)/(delx)=(delp)/(dely)$) ed esiste una curva chiusa $gamma$ che si avvolge intorno ad $x_0$ t.c. $oint_{gamma}F*t "d"s=0$, allora $F$ è conservativo.
In altri termini, anche se dovremmo controllare che tutte le circuitazioni sono non nulle, in questo caso particolare ci basta trovarne una sola non nulla per concludere che $F$ è conservativo.
Molto bene.Grazie ad entrambi.Nell'esercizio in questione mi risulta dunque un campo irrotazionale, un dominio non semplicemente connesso ed effettuando l'integrale su una ellisse che circonda la discontinuità (l'origine (0,0)) ottengo un valore non nullo.Se il campo allora non è conservativo nel dominio di F, come mi comporto se mi si chiede di determinare senza effettuare calcoli l'integrale curvilineo su un triangolo che : 1) circonda l'origine; oppure 2)non circonda affatto l'origine?
Chiedo scusa per le imprecisioni di sopra, devo essermi distratto durante la spiegazione perchè effettivamente anche a buon senso è più corretto che debba valere per tutte le circuitazioni, grazie mille per la correzione .
Comunque, tornando all'esercizio: per il punto 2 se riesci a restringere il dominio in modo che sia semplicemente connesso e contenga il triangolo l'integrale vale zero, altrimenti senza calcolare nulla non saprei sinceramente come cavarmela
; ti chiede altro l'esercizio oltre a calcolare l'integrale lungo un triangolo che circonda l'origine?
.Comunque, tornando all'esercizio: per il punto 2 se riesci a restringere il dominio in modo che sia semplicemente connesso e contenga il triangolo l'integrale vale zero, altrimenti senza calcolare nulla non saprei sinceramente come cavarmela
; ti chiede altro l'esercizio oltre a calcolare l'integrale lungo un triangolo che circonda l'origine?
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