Integrali curvilinei - domanda semplice(?)
Nella dimostrazione del teorema di Green c'è un passaggio nel quale si prende una regione particolare e si calcolano gli integrali di linea. In particolare non capisco questo passaggio.
Dobbiamo calcolare $int_{C_1}Pdx$ dove P è un campo scalare e $C_1$ una curva regolare. Uso la rappresentazione $underline alpha(t)=t underline i+f(t) underline j$ e otteniamo $int_{C_1}Pdx=int_a^b P[t,f(t)]dt$. Ma non dovrebbe essere $int_{C_1}Pdx=int_a^b P[t,f(t)]lambda dt$ dove $lambda$ è la lunghezza della curva? Qualcuno può chiarirmi questo punto???
Dobbiamo calcolare $int_{C_1}Pdx$ dove P è un campo scalare e $C_1$ una curva regolare. Uso la rappresentazione $underline alpha(t)=t underline i+f(t) underline j$ e otteniamo $int_{C_1}Pdx=int_a^b P[t,f(t)]dt$. Ma non dovrebbe essere $int_{C_1}Pdx=int_a^b P[t,f(t)]lambda dt$ dove $lambda$ è la lunghezza della curva? Qualcuno può chiarirmi questo punto???
Risposte
Perchè dovrebbe comparire la lunghezza della curva?
Siccome hai che
$dx underline i + dy underline j = d underline \alpha = dt underline i + f'(t) dt underline j$
cioè
dx = dt
dy = f'(t) dt
Siccome hai che
$dx underline i + dy underline j = d underline \alpha = dt underline i + f'(t) dt underline j$
cioè
dx = dt
dy = f'(t) dt
Perché da definizione un integrale curvilineo di prima specie, cioè di un campo scalare, è l'integrale che ho scritto io, quello in cui appare la lunghezza della curva. E poi scusa dove lo dovrei inserire $d underline alpha$? Dal momento che qui si parla solo di grandezze scalari? Non capisco questo punto, nemmeno guardando il problema geometricamente.
adesso ci sono. avevo fatto un po' di confusione prima.....ti chiedo scusa.....
Allora partendo proprio dall'inizio ragioniamo in questo modo. Sul piano è definita una funzione $f = f(\vec r)$ con $\vec r in RR^2$ che va $RR^2$ a $RR$. Sul piano definiamo anche una curva $C$, cioè una famiglia di vettori ad un parametro del tipo $\vec r (t) = x(t) i + y(t) j$ con $t in [a,b]$, la curva è quindi una mappa da $[a,b]$ a $RR^2$. I versori $ i $ e $ j $ sono i soliti.
Adesso vogliamo dare senso all'integrale di f lungo la curva $\vec r (t)$. Quindi basta prendere il modulo del vettore infinitesimo tangente a $C_1$, punto per punto, moltiplicare per f e integrare lungo la curva. Cioè quello che hai scritto tu
$\int_C f(\vec r) ds$
dove con ds intendiamo il modulo, cioè uno scalare, del vettore tangente infinitesimo.
Siccome abbiamo parametrizzato la curva possiamo calcolare il vettore tangente, che vale
$(d \vec r) / (d t) = (d x) / (d t) i + (d y) / (d t) j$
il vettore infinitesimo tangente chiamalo sarà dato da $d \vec r$ e varrà
$d \vec r = (d \vec r) / (d t) dt$
il suo modulo, chiamalo ds, è
$ds = sqrt{ ((d x) / (d t))^2 + ((d y) / (d t))^2 } dt$
Possiamo quindi ricondurre l'integrale di f lungo C ad un integrale su $RR$, cioè
$\int_C f(\vec r) ds = \int_a^b f(x(t), y(t)) sqrt{ ((d x) / (d t))^2 + ((d y) / (d t))^2 } dt$
Ora se la parametrizzazione che hai scelto è $\vec \alpha (t) = t i + g(t) j$ l'integrale diventerà
$\int_C f(\vec r) ds =\int_a^b f( t , g(t)) sqrt{ 1 + g'(t)^2 } dt$
Mi sembra che sai così che si procede, no?!
Allora partendo proprio dall'inizio ragioniamo in questo modo. Sul piano è definita una funzione $f = f(\vec r)$ con $\vec r in RR^2$ che va $RR^2$ a $RR$. Sul piano definiamo anche una curva $C$, cioè una famiglia di vettori ad un parametro del tipo $\vec r (t) = x(t) i + y(t) j$ con $t in [a,b]$, la curva è quindi una mappa da $[a,b]$ a $RR^2$. I versori $ i $ e $ j $ sono i soliti.
Adesso vogliamo dare senso all'integrale di f lungo la curva $\vec r (t)$. Quindi basta prendere il modulo del vettore infinitesimo tangente a $C_1$, punto per punto, moltiplicare per f e integrare lungo la curva. Cioè quello che hai scritto tu
$\int_C f(\vec r) ds$
dove con ds intendiamo il modulo, cioè uno scalare, del vettore tangente infinitesimo.
Siccome abbiamo parametrizzato la curva possiamo calcolare il vettore tangente, che vale
$(d \vec r) / (d t) = (d x) / (d t) i + (d y) / (d t) j$
il vettore infinitesimo tangente chiamalo sarà dato da $d \vec r$ e varrà
$d \vec r = (d \vec r) / (d t) dt$
il suo modulo, chiamalo ds, è
$ds = sqrt{ ((d x) / (d t))^2 + ((d y) / (d t))^2 } dt$
Possiamo quindi ricondurre l'integrale di f lungo C ad un integrale su $RR$, cioè
$\int_C f(\vec r) ds = \int_a^b f(x(t), y(t)) sqrt{ ((d x) / (d t))^2 + ((d y) / (d t))^2 } dt$
Ora se la parametrizzazione che hai scelto è $\vec \alpha (t) = t i + g(t) j$ l'integrale diventerà
$\int_C f(\vec r) ds =\int_a^b f( t , g(t)) sqrt{ 1 + g'(t)^2 } dt$
Mi sembra che sai così che si procede, no?!
infatti! allora come si giustifica il risultato del libro? senza il quale non si dimostra Green?
questo proprio non posso saperlo senza il libro davanti....se mi riesci a dare un link o il nome del libro che lo cerco su p2p posso guardarci.......o se proprio hai voglia puoi anche ricopiarlo......vedi tu......certo è che ora come ora non riesco ad aiutarti.....sorry
te lo pm, il tempo di pdf-arlo
posto i link anche qui tanto non costituisce violazione di copyright
http://gurghet.com/1.jpg
http://gurghet.com/2.jpg
http://gurghet.com/3.jpg
il passaggio che non capisco è fra pagina due e tre
grazie in anticipo
posto i link anche qui tanto non costituisce violazione di copyright
http://gurghet.com/1.jpg
http://gurghet.com/2.jpg
http://gurghet.com/3.jpg
il passaggio che non capisco è fra pagina due e tre
grazie in anticipo
Cavolo.......ho capito ma non so se riesco a spiegarmi......
Il problema è dare un senso a
$\int_(C_1) P dx$
questo non è un integrale di linea nel senso del mio post precedente, perchè qui con dx si intende l'incremento infinitesimo della variabile x che è una cosa, e non il ds tangente alla curva, che è un'altra cosa.
Siamo daccordo sul fatto che per una curva del tipo $\vec r(t) = t i + f(t) j$ hai che le componenti del vettore tangente infinitesimo sono $d \vec r = (i + f'(t)j) dt $. Inoltre ogni vettore infinitesimo deve, penso per definizione, essere dato da $d \vec r = dx i + dy j$ e quindi puoi parametrizzare dx = dt e dy = f'(t) dt.
Allora il resto segue da sè...
Quindi, per ricapitolare, con
$\int_(C_1) P dx$
intendi l'integrale del campo scalare lungo la curva però integrato solo su incrementi della variabile x.......
Il tutto diventa più chiaro se lo pensi nella versione tridimensionale, perchè lì
$P dx + Q dy$ diventa il prodotto scalare tra il campo $\vec F = P i + Q j $ e il vettore infinitesimo $d \vec r = dx i + dy j$ e allora lo interpreti come un lavoro infinitesimo....
Così funziona?
Casomai puoi fare delle prove....
Il problema è dare un senso a
$\int_(C_1) P dx$
questo non è un integrale di linea nel senso del mio post precedente, perchè qui con dx si intende l'incremento infinitesimo della variabile x che è una cosa, e non il ds tangente alla curva, che è un'altra cosa.
Siamo daccordo sul fatto che per una curva del tipo $\vec r(t) = t i + f(t) j$ hai che le componenti del vettore tangente infinitesimo sono $d \vec r = (i + f'(t)j) dt $. Inoltre ogni vettore infinitesimo deve, penso per definizione, essere dato da $d \vec r = dx i + dy j$ e quindi puoi parametrizzare dx = dt e dy = f'(t) dt.
Allora il resto segue da sè...
Quindi, per ricapitolare, con
$\int_(C_1) P dx$
intendi l'integrale del campo scalare lungo la curva però integrato solo su incrementi della variabile x.......
Il tutto diventa più chiaro se lo pensi nella versione tridimensionale, perchè lì
$P dx + Q dy$ diventa il prodotto scalare tra il campo $\vec F = P i + Q j $ e il vettore infinitesimo $d \vec r = dx i + dy j$ e allora lo interpreti come un lavoro infinitesimo....
Così funziona?
Casomai puoi fare delle prove....
Grazie, non ho capito l'ultima parte, per le mie enormi voragini di fisica, tuttavia sei stato molto chiaro nelle prime righe grazie infinite.
@ gurghet: Anche io ho il tuo stesso problema (voragini in fisica che mi impediscono di capire a fondo il calcolo vettoriale)... Un po' mi ha aiutato questa raccolta di "lectures" con dei javascript che ti danno una idea intuitiva delle cose. C'è anche una lezione sul teorema di Green. Niente di rigoroso ma utile come supporto intuitivo.
http://www.math.umn.edu/~nykamp/m2374/readings/
http://www.math.umn.edu/~nykamp/m2374/readings/
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