Integrali curvilinei & forme differenziali.
Salve ragazzi ho un paio di dubbi sugli integrali curvilinei e sulle forme differenziali.
Ora io ho questo esercizio:
$int_(gamma) (2xcosx/(2+x^2+x^4)+xy)dx+(sinylog(2+y^2+y^4))dy $ dove $gamma$ è l ellisse di equazione $x^2+y^2/4=1$,orientata nel verso orario.
Il suggerimento del mio professore è:"Si spezzi la F.d. in modo opportuno".
Ho provato a farla in tutti i modi,ricorrendo alle parametriche dell ellisse, ma niente.Escono sempre integrali complessi.Poi ho provato ricavando la y dall equazione dell ellisse e sostituendo ma ancora niente.Qualcuno può indirizzarmi, in maniera chiara su come devo risolvere quest'esercizio?
Secondo quesito:
la forma differenziale seguente è esatta nel suo dominio?
$1/(|x|+|y|) dx+1/(|x|+|y|)dy$.Dato che il dominio è connesso semplicemente posso considerare soltanto una restrizione del dominio (ad esempio solo il primo quadrante) ed estendere il risultato? Altrimenti dovrei considerare caso per caso e ci sarebbero zone del dominio dove è esatta e altre zone dove non lo è.Grazie a tutti per la pazienza e le eventuali risposte.
Ora io ho questo esercizio:
$int_(gamma) (2xcosx/(2+x^2+x^4)+xy)dx+(sinylog(2+y^2+y^4))dy $ dove $gamma$ è l ellisse di equazione $x^2+y^2/4=1$,orientata nel verso orario.
Il suggerimento del mio professore è:"Si spezzi la F.d. in modo opportuno".
Ho provato a farla in tutti i modi,ricorrendo alle parametriche dell ellisse, ma niente.Escono sempre integrali complessi.Poi ho provato ricavando la y dall equazione dell ellisse e sostituendo ma ancora niente.Qualcuno può indirizzarmi, in maniera chiara su come devo risolvere quest'esercizio?
Secondo quesito:
la forma differenziale seguente è esatta nel suo dominio?
$1/(|x|+|y|) dx+1/(|x|+|y|)dy$.Dato che il dominio è connesso semplicemente posso considerare soltanto una restrizione del dominio (ad esempio solo il primo quadrante) ed estendere il risultato? Altrimenti dovrei considerare caso per caso e ci sarebbero zone del dominio dove è esatta e altre zone dove non lo è.Grazie a tutti per la pazienza e le eventuali risposte.
Risposte
Per la prima domanda: sei proprio sicuro che sia quella la forma differenziale?
Per la seconda: qual è secondo te il dominio di quella forma differenziale?
Per la seconda: qual è secondo te il dominio di quella forma differenziale?
si la forma differenziale è proprio quella.per quanto riguarda il dominio della seconda forma differenziale $D=(x,y)inRR^2:x!=0 e y!=0$
Quindi il dominio della seconda è $\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}$, che non è semplicemente connesso. Quindi la forma non può essere esatta su tutto il dominio, ma può esserlo su ogni sottoinsieme semplicemente connesso che non contenga l'origine. Mi pare che un po' di tempo fa si era discusso di questa forma: in ogni caso, quello che dovresti fare e lavorare separatamente sui quadranti verificando, di volta in volta, quale forma tu ottenga (pensa ai valori assoluti).
Per la prima procedi così: puoi scriverla come $\omega+xy\ dx$, dove $\omega=\frac{2x\cos x}{2+x^2+x^4}\ dx+\sin y\ \log(2+y^2+y^4)\ dy$. Ora è facile verificare che la forma $\omega$ è chiusa sul suo dominio (che è tutto $\mathbb{R}^2$) ed è quindi esatta. Detto questo l'integrale curvilineo è la somma di un integrale di una forma esatta $\omega$ e di una forma qualsiasi $xy\ dx$ che è semplice da valutare passando alla parametrizzazione standard dell'ellisse.
Per la prima procedi così: puoi scriverla come $\omega+xy\ dx$, dove $\omega=\frac{2x\cos x}{2+x^2+x^4}\ dx+\sin y\ \log(2+y^2+y^4)\ dy$. Ora è facile verificare che la forma $\omega$ è chiusa sul suo dominio (che è tutto $\mathbb{R}^2$) ed è quindi esatta. Detto questo l'integrale curvilineo è la somma di un integrale di una forma esatta $\omega$ e di una forma qualsiasi $xy\ dx$ che è semplice da valutare passando alla parametrizzazione standard dell'ellisse.
Arrivati a questo punto puoi chiarirmi meglio il concetto di "connesso semplicemente"?In particolare Vorrei capire perchè quel dominio non lo è.Ti ringrazio per la risposta più che esauriente.
E vorrei dire anche che secondo me il dominio da te scritto è sbagliato.Non si tratta di un solo punto, ma devono essere esclusi tutti i punti degli assi cartesiani.Credo.
E credi male! Le componenti della forma sono definite per $|x|+|y|\ne 0$: dal momento che i valori assoluti sono sempre maggiori o uguali a zero, l'unica possibilità è che sia, contemporaneamente $x\ne 0,\ y\ne 0$. In tutti gli altri casi resta almeno un valore positivo. La definizione di dominio semplicemente connesso è questa: http://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_sem ... e_connesso E in futuro, ti consiglio di pensare bene prima di affermare cavolate. Grazie. 
si ho capito.Nonostante i modi barbari ti ringrazio per l aiuto 
Modi barbari? Non mi sembra di averti insultato. Giovincello, evita ironia inutile, grazie. Sinceramente ho già 200 studenti che scassano dalla mattina alla sera senza dovermi preoccupare di te su un forum.
E detto questo, mi auguro che altri, in futuro si preoccupino di aiutarti, perché sinceramente credo che passero oltre alle tue richieste. Buona giornata.
E detto questo, mi auguro che altri, in futuro si preoccupino di aiutarti, perché sinceramente credo che passero oltre alle tue richieste. Buona giornata.
Un po' di gentilezza verso una persona vale più di un grande amore verso l'umanità intera. (Richard Dehmel)
La gentilezza consiste nell'amare la gente più di quanto essa non meriti. (Joseph Joubert)
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ma come siamo permalosi...
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