Integrali curvilinei
Ragazzi, io non riesco a capire quale sia la differenza tra integrale curvilineo di prima specie e integrale curvilineo di seconda specie.
Potreste spiegarmelo? Grazie!
Potreste spiegarmelo? Grazie!
Risposte
Una prima differenza è che, se non sbaglio, il primo lo si fa su un campo scalare, mentre il secondo su un campo vettoriale (prendi ad esempio il lavoro in Fisica). Hai provato, per farti un'idea, a dare un'occhiata su wikipedia?!
Ecco qualche altra considerazione sui due tipi di integrali, prima e seconda specie.
L’integrale di linea di un campo vettoriale ( detto di seconda specie) possiede le proprietà di linearità rispetto all’integranda e di additività rispetto all’unione di curve, perfettamente analoghe a quelle dell’integrale di linea di prima specie.
Tuttavia tra i due integrali c’è un’importante differenza e per questo vengono chiamati integrali di linea di prima e di seconda specie.
Confrontiamo i due integrali :
- l’integrale di linea di prima specie di una funzione continua $ f $, lungo una curva $ gamma $ parametrizzata da $ vec r(t) =(x(t),y(t),z(t)) ; t in[a,b]$ è dato da :
-
$int_a^b(f(vec r(t)) |(vecr)'(t)|dt $
- l’integrale di linea di un campo vettoriale ( integrale di linea di seconda specie ), lungo $ gamma $ , del campo $vecF $ è dato da :
$int_a^b vecF(vecr(t))*(vecr)’(t)dt $ . (* = prodotto scalare)
Il modo in cui il vettore tangente alla curva i.e.$[ (vec r) ’(t)]$ è coinvolto nei due integrali è diverso.
Le conseguenze sono :
- l’integrale di prima specie è invariante per cambiamenti di parametrizzazione della curva,
anche quando la nuova parametrizzazione ne cambia l’orientazione : il risultato non cambia , cambiando il verso di percorrenza della curva [ la formula contiene il MODULO del vettore tangente].
- L’integrale di seconda specie,invece, cambia segno se si cambia l’orientazione della curva, mentre continua ad essere invariante per cambiamenti di parametro che non alterino l’orientazione : il segno dell’integrale dipende dal verso di percorrenza della curva
L’integrale di linea di un campo vettoriale ( detto di seconda specie) possiede le proprietà di linearità rispetto all’integranda e di additività rispetto all’unione di curve, perfettamente analoghe a quelle dell’integrale di linea di prima specie.
Tuttavia tra i due integrali c’è un’importante differenza e per questo vengono chiamati integrali di linea di prima e di seconda specie.
Confrontiamo i due integrali :
- l’integrale di linea di prima specie di una funzione continua $ f $, lungo una curva $ gamma $ parametrizzata da $ vec r(t) =(x(t),y(t),z(t)) ; t in[a,b]$ è dato da :
-
$int_a^b(f(vec r(t)) |(vecr)'(t)|dt $
- l’integrale di linea di un campo vettoriale ( integrale di linea di seconda specie ), lungo $ gamma $ , del campo $vecF $ è dato da :
$int_a^b vecF(vecr(t))*(vecr)’(t)dt $ . (* = prodotto scalare)
Il modo in cui il vettore tangente alla curva i.e.$[ (vec r) ’(t)]$ è coinvolto nei due integrali è diverso.
Le conseguenze sono :
- l’integrale di prima specie è invariante per cambiamenti di parametrizzazione della curva,
anche quando la nuova parametrizzazione ne cambia l’orientazione : il risultato non cambia , cambiando il verso di percorrenza della curva [ la formula contiene il MODULO del vettore tangente].
- L’integrale di seconda specie,invece, cambia segno se si cambia l’orientazione della curva, mentre continua ad essere invariante per cambiamenti di parametro che non alterino l’orientazione : il segno dell’integrale dipende dal verso di percorrenza della curva
"Lorin":
Una prima differenza è che, se non sbaglio, il primo lo si fa su un campo scalare, mentre il secondo su un campo vettoriale (prendi ad esempio il lavoro in Fisica). Hai provato, per farti un'idea, a dare un'occhiata su wikipedia?!
Sempre un buon riferimento wikipedia!
@camillo non avevo fatto caso al fatto dell'orientazione! E' un buon quadro!
Grazie ad entrambi!
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